Se f possui uma raiz em R, digamos t, então f(t)=0 . Defina o polinomio g como sendo
g(x)=x-t, note que g(t)=0.
Dividindo f(x) por g(x) temos pelo algoritmo da divisão que existem polinômios q(x) e r(x) tais que
f(x)=g(x)q(x)+r(x)
com grau de r < grau de g.
Como grau de g é 1 concluimos que r(x)= constante
Substituindo x por t na expressão acima temos
f(t)=g(t)q(t)+r(t)
Como f(t)=g(t)=0 temos que r(t)=0.
Como r(x) é constante concluímos que r(x)=0
Logo f(x)=g(x)q(x)
Como grau de f = grau de g +grau de q segue que grau de q(x)=1
Logo f é redutível por ser o produto de dois polinômios não constantes.
[]s,
Fernando Villar
| De: |
owner-obm-l@mat.puc-rio.br |
| Para: |
obm-l@mat.puc-rio.br |
| Data: |
Tue, 29 Jun 2004 10:08:14 -0300 |
| Assunto: |
[obm-l] Polinômio |
> Alguém pode me ajudar a mostrar o exercício abaixo:
>
> Seja f(x) pertencente a R[x] um polinônio de grau 2.
> Se f possui uma raiz em R, mostre que f é redutivel em R[x].
>
> Cordialmente,
>
> Jerry
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