Tem também um resultado interessante que mais ou menos generaliza estes:
Para quaisquer inteiros positivos m e n, a sequência:
n, n^n, n^n^n, n^n^n^n, ... fica eventualmente constante mod m.
A demonstração que eu conheço disso é por indução completa, supondo inicialmente que m é potência de um primo. Depois, usa-se o teorema chinês dos restos e o teorema de Euler para o caso de um m qualquer.
[]s,
Claudio.
| De: |
owner-obm-l@mat.puc-rio.br |
| Para: |
obm-l@mat.puc-rio.br |
| Data: |
Fri, 25 Jun 2004 15:14:33 -0300 |
| Assunto: |
Re: [obm-l] Re:[obm-l] Correção |
> On Fri, Jun 25, 2004 at 01:44:34PM -0300, claudio.buffara wrote:
> > > A questão certa é : Prove q o numero ( n^n^n^n - n^n^n ) é divisivel por
> > > 1989.
> > É pra provar que isso vale para todo n inteiro positivo?
> >
> > Espero que não, pois 2^2^2^2 = 2^2^4 = 2^16 = 65536 e 2^2^2 = 2^4 = 16.
> > Mas 65536 - 16 = 65520 não é divisível por 1989.
>
> Por outro lado, n^n^n^n - n^n^n é sempre divisível por 65520,
> como pode ser demonstrado facilmente usando congruências.
> Também é verdade que n^n^n^n^n^n - n^n^n^n^n é sempre divisível por 1989.
> (Aqui "sempre" significa, é claro, para todo n positivo).
>
> []s, N.