Re: [obm-l] Topologia - Conj Compactos

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Re: [obm-l] Topologia - Conj Compactos

A demonstracao do Artur me fez rever a minha demonstracao e, como era de se esperar, achei um erro no 2o. paragrafo: um conjunto limitado soh com pontos isolados nao eh necessariamente finito e nem compacto. 
Contra-exemplo: {1/n | n eh inteiro positivo}. Este conjunto estah contido no intervalo [0,1] e {1/n} inter (1/n - 1/(2n^2),1/n + 1/(2n^2)) = {1/n}.
Alem disso, 0 eh um ponto de acumulacao que nao pertence ao conjunto.

Mas, por sorte, o paragrafo era desnecessario pois, para provar que X eh fechado, bastava garantir que X contenha todos os pontos de acumulacao e isso foi feito no 3o. paragrafo.

[]s,
Claudio.

on 15.06.04 14:37, Claudio Buffara at claudio.buffara@terra.com.br wrote:

> Seja (x_n) a tal sequencia.
> Como (x_n) eh limitada, o teorema de Bolzano-Weirstrass garante que ela tem alguma subsequencia convergente. Logo, o conjunto X dos valores de aderencia de (x_n) eh nao vazio.
> Alem disso, X certamente eh limitado.
>
> Se todos os pontos de X forem isolados, entao, como X eh limitado, X serah finito e, portanto, compacto.
>
> Assim, seja a um ponto de acumulacao de X.
> Cada conjunto aberto contendo a vai conter tambem um elemento de X distinto de a (de fato, uma infinidade de tais elementos).
> Este elemento de X serah o limite de alguma subsequencia de (x_n).
> Logo, cada conjunto aberto contendo a vai conter tambem termos da sequencia (x_n) com indices arbitrariamente grandes.
> Isso significa que a serah o limite de alguma subsequencia de (x_n).
> Em outras palavras, a pertence a X, o que implica que X eh fechado.
>
> Como X eh limitado, concluimos que X eh compacto.
>
> []s,
> Claudio.
>
> on 15.06.04 12:04, Wellington at listadematematica@yahoo.com.br wrote:
>
> > Como se prova que o conjunto dos valores de aderência de uma seqüência limitada é um conjunto compacto não vazio? 
> >
> >  
> >
> > [ ]¹s 
>