[obm-l] Re: [obm-l] Distância e Norma

[Artur Costa Steiner <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Oi Wellington.
na realidade, distancias (tambem conhecidas por metricas) nao provem mesmo
de normas. Uma distancia eh uma funcao que faz de um comjunto qualquer um
espaco metrico. Podemos definir uma metrica em um conjunto sem que ele seja
normado, sem que tenha uma estrutura de espaco vetorial. Se A eh um conjunto
naum vazio, dizemos que d eh uma distancia ou metrica definida em A se d for
uma funcao de A x A em [0, inf) tal que 
(1) d(x,y) >=0 para todos x e y em A
(2) d(x,y) = 0 se, e somente se, x=y
(3) d(x,z) <= d(x,y) + d(y,z) para todos x, y e z em A (desigualdade do
triangulo)
O par (A,d) eh entao um espaco metrico. Usualmente, diz-se apenas que A eh
um espaco metrico (com relacao aa distancia d). 

Uma possivel metrica definida em um conjunto A eh a chamada metrica
discreta, na qual d(x,y) = 1 se x<>Y e d(x,x)=0. Esta denominacao origina-se
do fato que, nesta metrica, A nao possui pontos de acumulacao. Todos os
subconjuntos de A sao simultaneamente abertos e fechados.

Uma norma eh uma funcao definida em um espaco vetorial V, construido sobre
um corpo C de escalares. n eh uma norma definida em V se n for uma funcao de
V em [0, inf) que apresente as seguintes propriedades:
 
(1)n(x) >=0 para todo x de V, com n(x) =0 sse x for o vetor nulo. 
(2) n(x+y) <= n(x) + n(y) (aqui, + eh a operacao de adicao conforme definida
em V)
(3) n(c*x) = c*n(x) para todo x de V e todo escalar c de C. 

(normas podem ser tambem definidas a partir de produtos escalares)

A funcao de V x V em [0, inf) que leva (x,y) -> n(x-y) eh uma distamcia
(metrica) em V induzida pela norma n. Mas o conceito de metrica nao se
origina no conceito de norma.

Artur           


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Assunto: [obm-l] Distância e Norma
Data: 14/06/04 17:46


Alguém pode dar um exemplo de uma distãncia que não provem de uma norma?
 
Grato,
Wellington
 


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