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Olá Fábio, Eu achei esta questão bem interessante. Segue uma resolução
possível. RESOLUÇÃO POSSÍVEL: Fazendo m =
100000.100002.100006.100008, teremos que N = m + n, onde n é o menor inteiro
positivo de modo que N seja quadrado perfeito. A técnica que eu utilizei foi de
transformar os produtos de dois fatores em produtos da soma pela diferença de
dois números. Deste modo, eu posso aplicar o produto notável (a + b)(a - b) = a^2
- b^2 sucessivas vezes. m = (100004 - 4)(100004
- 2)(100004 + 2)(100004 + 4) m = (100004 - 4)(100004
+ 4)(100004 - 2)(100004 + 2) m = (100004^2 - 16)(100004^2
- 4) m = [(100004^2 - 10) -
6)][(100004^2 - 10) + 6)] m = (100004^2 - 10)^2 -
36 Observe que para n =
36, teremos que N = m + n = (100004^2 - 10)^2 é um quadrado perfeito. Somente falta verificar
se n = 36 é o menor inteiro positivo de modo que N = m + n seja quadrado
perfeito. Fazendo k = 100004^2 - 10,
teremos N = m + 36 = k^2. Se existir n < 36 tal
que n + m seja um quadrado perfeito, teremos: n < 36 => n + m
< m + 36 => n + m < k^2 O menor quadrado
perfeito que é menor que k^2 é (k - 1)^2, portanto: n + m <= (k - 1)^2 =>
n + m <= k^2 - 2k + 1 Como k^2 = m + 36,
teremos: n + m <= m + 36 - 2k
+ 1 => n <= 36 - 2k + 1 Como k = 100004^2 - 10,
teremos: n <= 36 - 2k + 1
=> n <= 36 - 2.100004^2 + 20 + 1 => n <= 57 - 2.100004^2 Portanto, nós provamos
que: Se n = 36, então N = m +
n = (100004^2 - 10)^2 é um quadrado perfeito. (i) Se existir n < 36
tal que N = m + n seja um quadrado perfeito, então n <= 57 - 2.100004^2 <
0 (ii) Por (i) e (ii), concluímos
que n = 36. RESPOSTA: Alternativa d
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owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] On Behalf Of Fábio Bernardo O meno inteiro positivo n para o qual o número N = 100000.100002.100006.100008+n é um quadrado perfeito é: a) 30 b) 32 c) 34 d) 36 e) 38 |