Re: [obm-l] supremo

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Re: [obm-l] supremo

on 08.06.04 11:39, Lista OBM at obm_lista@yahoo.com.br wrote:

> Seja B(X;R) = {f: X --> R; f limitada}. Gostaria de saber se alguém sabe se existe alguma relação entre o
>  | sup_{x em X}(f(x) - g(x)) | e o sup_{x em X}{| f(x) - g(x) |}, onde f e g estão em B(X;R).
>  
> Obs.: (i) O símbolo "_" indica índice, por exemplo, x_{0} quer dizer x índice 0;
>          (ii) X é um subconjunto do conjunto dos reais (denotado por R);
>         (iii) As "{ }" não precedidas de "_" indica conjunto.
>  
> Grato desde já, Éder.
>  
> Oi, Eder:
>
> As funcoes f e g sao dadas ou os supremos sao calculados sobre todas as f e g de B(X;R) alem de todos os x de X ?
>
>
> De qualquer forma, basta considerar a funcao h:X -> R dada por h(x) = f(x) - g(x), pois eh claro que se f e g pertencem a B(X;R) entao h tambem pertence.
>
> Assim, sejam:
> A = sup{h(x)   t.q.   x pertence a X   e   h a B(X;R)};
> a = inf{h(x)   t.q.   x pertence a X   e   h a B(X;R)};
> B = sup{|h(x)|   t.q.  x pertence a X   e   h a B(X;R)}.
>
> Queremos a relacao entre |A| e B.
>
> Se h for dada de antemao, entao vale |A| <= B.
>
> Nesse caso, basta mostrar que B = max{|A|,|a|}, o que eh consequencia das desigualdades:
> B >= |h(x)| >= max{h(x),-h(x)}.
> e do fato que, para qualquer subconjunto Y de R, vale:
> sup(-Y) = -inf(Y)  e  inf(-Y) = -sup(Y), onde -Y = {-y  t.q.  y pertence a Y}.
>
> Um exemplo onde vale a desigualdade estrita eh:
> X = [0,1]  e  h(x) = 3x - 2.
> Nesse caso:
> A = 1, a = -2 e B = 2 > 1 = |A|.
>
> ***
>
> Por outro lado, se os supremos forem tomados sobre todas as funcoes de B(X;R), entao vale a igualdade, pois se a funcao f pertence a B(X;R), entao a funcao |f|, dada por |f|(x) = |f(x)| tambem pertence e, no caso de |f|, os dois supremos sao claramente iguais, pois a funcao toma apenas valores nao-negativos.
>
>
> []s,
> Claudio.