Re: [obm-l] Teo. de Wilson

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 06.06.04 04:39, Osvaldo at 1osv1@bol.com.br wrote:

> Pessoal, como provo o teo. de wilson,ou seja,
> se p é primo entao (p-1)!+1 é congruente a 0 módulo p
> 
> 
> Atenciosamente,
> 
> Engenharia Elétrica - UNESP Ilha Solteira
> Osvaldo Mello Sponquiado
> Usuário de GNU/Linux
> 
> 
Repare quem em Z_p os polinomios:
f(x) = x^(p-1) - 1
e
g(x) = (x-1)(x-2)...(x-p+1)
sao ambos monicos, de grau p-1 e tem as mesmas p-1 raizes
(a saber: 1, 2, 3, ..., p-1 ).
Logo, sao iguais.

Em particular, g(0) = f(0) ==>
(p-1)! = -1 ==>
(p-1)! + 1 = 0 em Z_p ==>
(p-1)! + 1 == 0 (mod p)

Ou entao, repare que o teorema eh obviamente valido para p = 2 e p = 3 e
que, para p >= 5, voce pode particionar o conjunto {1, 2, 3, ..., p-1} dos
inteiros positivos menores do que p nos (p+1)/2 conjuntos:
{1}, {p-1}, {2,(p+1)/2}, ..., {a,b}
sendo que os pares sao tais que a*b == 1 (mod p).
Ou seja, multiplicando os elementos dos pares, obtemos um produto que eh
congruente a 1 (mod p).
Finalmente, multiplicando 1 e p-1, obtemos um produto que eh == -1 (mod p).
Mas o produto que obtemos eh justamente (p-1)!.
Logo. (p-1)! == -1 (mod p).

[]s,
Claudio.

Logo, um eh um multiplo escalar do outro, ou seja:
g(x) = k*f(x) para algum k em Z_p.

Em particular, g(0) = k*f(0), ou seka:
-1 = k*(


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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