Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_função_de_classe_C^1

[Lista OBM <obm_lista@xxxxxxxxxxxx>]

Meu caro Cláudio,

 

estava olhando com detalhes essa sua última solução e acho que há

 

dois pequeníssemos erros, os quais não interferem na solução, pelo

 

menos é o que acho:

 

Se h:[a,b] -> R é definida por h(x) = f(a) + M(x - a) tem-se que h(a) = f(a)

 

e não h(a) = 0 e como k:[a,b] --> R foi definida como k(x) = f(x) - h(x),

 

tem-se que k(a) = f(a) - h(a) = f(a) - f(a) = 0 e não k(a) = f(a).

 

PS.: Acho que esses pequeníssemos erros são despresíveis em relação

 

a sua bela solução, até porque não consigui vê a necessidade de se 

 

analisar os valores que h e k assumem em a.

 

Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br> wrote:

Oi, Eder:

Aqui vai uma solucao simplificada que leva em conta seus comentarios, alias, todos pertinentes.

Seja M = valor maximo atingido pela funcao |f'| no intervalo [a,b].
Obviamente, M >= 0.

Seja h:[a,b] -> R definida por:
h(x) = f(a) + M(x - a)
Entao:
h(a) = 0
e
h'(x) = M >= 0, para todo x em [a,b] ==> h eh nao-decrescente.

Seja k:[a,b] -> R definida por:
k(x) = f(x) - h(x)
Entao:
k(a) = f(a) - h(a) = f(a)
e
k'(x) = f'(x) - h'(x) <= |f'(x)| - M <= M - M = 0 ==> k eh nao-crescente.

Alem disso, f = h + k.

[]s,
Claudio.

on 01.06.04 08:36, Lista OBM at obm_lista@yahoo.com.br wrote:

Meu caro Cláudio,
achei muito legal a forma com que você resolveu o problema, mas não consegui enteder o por quê de definir inicialmente f(0) = 0. Além disso, não consegui enteder também sua conclusão, ou seja, dada f:[a,b] -> R de classe C^1, basta considerarmos a função:
F:[0,1] -> R dada por: F(x) = f(a + (b-a)x) - f(a) que recairemos no caso provado anteriormente. De fato, recaímos no caso anterior, mas o que nos garante que f(x) = g(x) + r(x), onde g é não crescente e r é não decrescente.

OBS.: Ao invés de definir h(x) = (M+1)x não seria melhor definir h(x) = Mx ? Pois assim teríamos h não descrescente e, consequentemente, k não cresecente, como pedido no problema. Isso foi só uma pergunta!!!, não sei se estou certo.


Cláudio_(Prática) <claudio@praticacorretora.com.br> wrote:

Interessante esse problema!

Suponhamos, inicialmente, que o intervalo é [0,1] e que f(0) = 0.

Como f é C^1 em [0,1], f' existe e é contínua em [0,1].
Seja g = |f'| (ou seja, g(x) = |f'(x)| para todo x em [0,1]).
Então g também é contínua em [0,1] e, portanto, atinge seu valor máximo, igual a M, nesse intervalo.
É claro que M >= 0.

Seja h:[0,1] -> R dada por:
h(x) = (M+1)x.
h é claramente crescente em [0,1] e h(0) = 0.

Seja k:[0,1] -> R dada por:
k(x) = f(x) - (M+1)x.
k eh de classe C^1 e k(0) = 0.
Além disso, para todo x em [0,1],
k'(x) = f'(x) - (M+1) <= |f'(x)| - (M+1) < 0.
Logo, k eh decrescente em [0,1].

É claro que, para todo x em [0,1], f(x) = h(x) + k(x).

Ou seja, o resultado está provado para uma funçao definida em [0,1] com f(0) = 0.

A generalização para o caso geral é fácil.
Se f:[a,b] -> R é de classe C^1, basta considerar a função:
F:[0,1] -> R dada por:
F(x) = f(a + (b-a)x) - f(a)
que você recai no caso provado acima.
É claro que F é de classe C^1 em [0,1] e F(0) = 0.

[]s,
Claudio.

----- Original Message -----
From: Lista OBM <mailto:obm_lista@yahoo.com.br>  
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Monday, May 31, 2004 8:50 AM
Subject: [obm-l] função de classe C^1

Gostaria de saber se alguém poderia me ajudar com o seguite problema:

Mostre que se f: [a,b] --> é de classe C^1, então f pode escrita como a soma de uma função não crescente com uma uma função não decrescente.


Grato, Éder.

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