Re: [obm-l] Cosseno nao eh polinomio (2)

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Oi, Osvaldo:

A solucao que eu tinha em mente usa o fato de que a derivada (n+1)-esima de
uma funcao polinomial de grau n eh a funcao identicamente nula e obtem uma
contradicao a partir disso, pois as derivadas de ordem superior da funcao
cosseno nunca sao identicamente nulas.

De uma olhada na solucao do Fabio.

Por outro lado, acho que o caminho que voce tomou eventualmente chega lah,
mas a algebra pode ficar meio enrolada, com voce deve ter percebido. Alem
disso, ha um erro no coeficiente de x^1 do lado esquerdo, o qual deveria ser
4*a_1*a_2 + 2*a_1*a_0 = 2*a_1*(2*a_2 + a_0).

Uma forma melhor eh comecar supondo que cos(x) seja um polinomio de grau n.
Claramente, n >= 1, pois cos(x) nao eh constante.
Nesse caso, expandindo cos^2(x) + sen^2(x), obtemos que o coeficiente de
x^(2n) serah igual a a_n^2.
Mas cos^2(x) + sen^2(x) = 1. Logo, a_n^2 = 0 ==>
a_n = 0 ==> 
cos(x) tem grau no maximo (n-1) ==>
contradicao ==>
cos(x) nao pode ser um polinomio.

[]s,
Claudio.

on 01.06.04 01:35, Osvaldo at 1osv1@bol.com.br wrote:

> Eu tentei, mas acho que errei em algum lugar. Por favor
> encontrem meu erro!
> 
> Vou supor que cos possa ser escrito como um polinomio.
> cos x = a_0+a_1.x+a_2.x^2+...+a_n.x^n; a_i reais nao
> simultaneamente nulos.
> 
> Derivando vem que cos'x = sen x =
> a_1+2.a_2.x+...+n.a_n.x^(n-1)
> 
> Da identidade cos^2(x)+sen^2(x)=1 vem:
> 
> [a_1+2.a_2.x+...+n.a_n.x^(n-1)]^2+
> [a_0+a_1.x+a_2.x^2+...+a_n.x^n]^2 = 1
>
> Logo, temos que 
> a_1^2+a_0^2=1 (*)
> 4.a_2^2+a_1^2=0
> .
> .
> .
> 
> n^2.a_(n-1)^2+a_n^2=0
> 
> Mais 4.a_2^2+a_1^2=0 em R somente se a_2 e a_1 são
> ambos nulos. logo a_1=0 (**)
> 
> Substituindo ** em * eu vejo que a_0^2 deve ser 1 e
> logo que a_0 é 1.
> 
> Acho que isso é uma contradiçao, pois x varre o
> intervalo [a,b] e a!=b. Se assim o for está provado,
> mais acho que devo ter errado em algum lugar, se
> puderem me enviem o erro. Até
> 
>> Uma versao um pouco mais dificil:
>> 
>> Sejam a e b numeros reais com a < b.
>> Prove que F:[a,b] -> R dada por F(x) = cos(x)
>> nao eh uma funcao polinomial.
>> 
>> Dessa vez o argumento de infinitas raizes nao se
> aplica...
>> 
>> []s,
>> Claudio.
>> 
>> 


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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