Ah, obrigado pela solução. Acho que está correta.
Grato, Éder Franklin da Silva.
From: Lista OBM <obm_lista@yahoo.com.br>
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Fri, 28 May 2004 11:41:34 -0300 (ART)
Subject: [obm-l] Problema
> Gostaria de saber se alguém poderia me ajudar com o seguinte problema:
> Sejam A e B anéis ordenados. Diz-se que um homomorfismo injetivo f: A --> B preserva ordem se, para todo a > 0 em A, tivermos f(a) > 0. Sejam K um corpo ordenado e f: Q --> K um homomorfismo injetivo dos números racionais em K. Mostre que, necessariamente, f preserva a ordem.
>
> Grato desde já com a possível ajuda de vocês.
>
Antes de mais nada, qual o seu nome? Espero sinceramente que nao seja "Lista OBM"...
Agora, sobre o problema:
Como f eh injetivo, K contem uma copia isomorfica de Q. Alem disso, eh facil ver que f(1) = 1_k = elemento neutro da multiplicacao em K, e que isso implica que se m/n pertence a Q (m, n inteiros), entao f(m/n) = m_k/n_k, onde:
m_k = 1_k + 1_k + ... + 1_k (m parcelas).
Como K eh ordenado, 1_k = 1_k*1_k > 0_k, ou seja, f(1) > 0_k ==> f(1) eh positivo em K.
Logo, f(m) = f(1+1+...+1) = 1_k + 1_k + ... + 1_k = m_k tambem eh positivo em K.
1_k = f(1) = f(m*1/m) = f(m)*f(1/m) = m_k*f(1/m) ==>
f(1/m) = 1_k/m_k.
Logo, m > 0 ==> 1/m > 0 ==> f(1/m) = 1/m_k > 0_k.
Assim, provamos que se m > 0 e n > 0 em Q, entao f(m) > 0_k e f(1/n) > 0_k.
Agora, dado um racional positivo m/n (m,n inteiros), podemos assumir s.p.d.g. que m > 0 e n > 0 e, portanto, f(m/n) = f(m*1/n) = f(m)*f(1/n) > 0_k.
Ou seja, se a > 0 em Q, entao f(a) > 0_k em K.
[]s,
Claudio.