Re: [obm-l] números primos

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 25.05.04 22:21, biper at biper@bol.com.br wrote:

> Aí morgado valeu, é que eu coloquei aquela soma sob
> forma de fração e acabei me complicando, mas de
> qualquer forma obrigado.
> Agora dá uma olhada nessa aqui, até agora ñ consegui
> achar nada:
> 
> Qual é soma de todos os divisores exatos do número
> N = 19^88 - 1, que são da forma: N = (2^A)*(3^B), com A
> e B maiores  que zero?
> 
> Um grande abraço a todos, valeu!
> Felipe Santana
>
A ideia eh achar os expoentes de 2 e 3 na fatoracao de N.

Seja N = 2^x * 3^y * M, onde mdc(M,6) = 1.
 
Seja u = 19^11.

Entao: 
N = u^8 - 1 = 
(u^4 - 1)*(u^4 + 1) =
(u^2 - 1)*(u^2 + 1)*(u^4 + 1) =
(u - 1)*(u + 1)*(u^2 + 1)*(u^4 + 1)

Olhando mod 8, teremos:
19 == 3 ==> 
19^2 == 1 ==>
19^10 == 1 ==>
u = 19^11 == 3 ==>
u^2 == 1 ==>
u^4 == 1 ==>
u - 1 == 2; u + 1 == 4; u^2 + 1 == 2; u^4 + 1 == 2

Essas 4 congruencias implicam que x = 5.

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Olhando mod 27, teremos:
19 == -8 ==>
19^2 == 64 == 10 ==>
19^3 == -80 == 1 ==>
19^9 == 1 ==>
u = 19^11 == 10 ==>
u^2 == 100 == -8 ==>
u^4 == 64 == 10 ==>
u - 1 == 9; u + 1 == 11; u^2 + 1 == -7; u^4 + 1 == 11

Essas 4 congruencias implicam que y = 2.

Assim, N = 2^5 * 3^2 * M, onde M eh primo com 6.

Logo, a soma desejada eh:
(2+2^2+2^3+2^4+2^5)*(3+3^2) = 62*12 = 744


[]s,
Claudio.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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