[obm-l] Distancias Aleatorias

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 24.05.04 21:52, Claudio Buffara at claudio.buffara@terra.com.br wrote:

> on 24.05.04 20:19, niski at fabio@niski.com wrote:
> 
>> Dados 4 pontos escolhidos aleatoriamente dentro de um cubo unitario,
>> qual é o volume medio determinado por estes pontos?
> 
> Oi, Niski:
> 
> Uma ideia eh comecar com 3 pontos no quadrado unitario e calcular a area
> media. Dai talvez fique mais facil generalizar pro cubo.
> 
> []s,
> Claudio.

Com relacao a este problema, aqui vai um pequeno "paradoxo":

Escolhendo dois numeros X e Y, aleatoriamente, no intervalo [0,1], o valor
esperado da distancia entre X e Y eh 1/3 (mais precisamente, se X e Y sao
variaveis aleatorias independentes e ambas U[0,1], entao E[|X - Y|] = 1/3).
A demonstracao disso fica proposta como exercicio.

Seria de se esperar, entao, que escolhendo-se aleatoriamente dois pontos
(X,Y) e (Z,W) no quadrado unitario, o valor esperado da distancia entre eles
fosse raiz(2)/3 (simples aplicacao do teorema de Pitagoras).
No entanto, o valor esperado eh maior do que isso. Ou seja:
E[raiz((X - Z)^2 + (Y - W)^2)] > raiz(2)*E[|X - Z|] = raiz(2)/3, onde:
X, Y, Z e W sao U[0,1] e indepenedentes duas a duas.

Pergunta: quanto eh este valor esperado e por que eh maior do que raiz(2)/3?

[]s,
Claudio.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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