RE: [obm-l]

[Rogério Moraes de Carvalho <rogeriom@xxxxxxx>]

Olá André,

	Segue uma resolução possível para este problema.


RESOLUÇÃO POSSÍVEL:

	Como o problema não informa sobre o sinal dos números, eu estarei
calculando o total de números positivos ou negativos que satisfazem o
enunciado. Para isto, basta calcular a quantidade (n) de múltiplos positivos
de 11111 de 10 algarismos e, ao final, multiplicar esta quantidade por 2
(2n) para contar os múltiplos negativos também.

	Para calcular a quantidade de múltiplos positivos e distintos de
11111 com 10 algarismos, devemos encontrar o menor e o maior inteiros
positivos múltiplos de 11111.

Cálculo do menor inteiro positivo com 10 algarismos e múltiplo de 11111
-----------------------------------------------------------------------
Fazendo a divisão euclidiana do menor positivo de 10 algarismos (1000000000)
por 11111, encontramos:
1000000000 = 90000.11111 + 10000 <=> 1000000000 - 10000 = 90000.11111 <=>
1000000000 - 10000 + 11111 = 90000.11111 + 11111 <=>
1000001111 = 90001.11111 (i)
Logo, 1000001111 é o menor inteiro positivo com 10 algarismos e múltiplo de
11111.

Cálculo do maior inteiro positivo com 10 algarismos e múltiplo de 11111
-----------------------------------------------------------------------
Fazendo a divisão euclidiana do maior positivo de 10 algarismos (9999999999)
por 11111, encontramos:
9999999999 = 900009.11111 (ii)
Logo, 9999999999 é o maior inteiro positivo com 10 algarismos e múltiplo de
11111.

Cálculo da quantidade de inteiros positivos com 10 algarismos e múltiplos de
11111
---------------------------------------------------------------------
Por (i) e (ii), podemos concluir que a seqüência de inteiros positivos com
10 algarismos e múltiplos de 11111 é dada por:
(1000001111, 1000001111 + 11111, 1000001111 + 2.11111, ..., 9999999999)

A seqüência acima é uma P.A. de primeiro termo a[1] = 1000001111, último
termo a[n] = 9999999999 e razão R = 11111. Pela fórmula do termo geral de
uma P.A. podemos encontrar o número (n) de termos:
a[n] = a[1] + (n - 1).R <=> 9999999999 = 1000001111 + (n - 1).11111
Substituindo as igualdades (i) e (ii), teremos:
900009.11111 = 90001.11111 + (n - 1).11111
900009 = 90001 + n - 1
n = 900009 - 90000
n = 810009

Total de números positivos e negativos: 2n = 2.810009 = 1620018

Resposta: 1.620.018 números inteiros distintos, positivos ou negativos, com
10 algarismos são múltiplos de 11111.


Atenciosamente,

Rogério Moraes de Carvalho
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From: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] On
Behalf Of Andre
Sent: sexta-feira, 21 de maio de 2004 00:16
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] 

Olá,
 
        Questão:  Quantos são os números com 10 algarismo diferentes entre
si e divisível por 11111.
                      Dizer que eles estão incluídos entre os números
interessantes está correto?



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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