[obm-l] Re: [obm-l] [u] Álgebra

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

----- Original Message -----
From: "Domingos Jr." <dopikas@uol.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Tuesday, May 18, 2004 4:43 PM
Subject: [obm-l] [u] Álgebra


> Esse é bonitinho:
> Seja F um corpo de característica p, mostre que se X^p - X - a é redutível
> em F[X], então ele se decompõe (em fatores lineares) em F[X].
>
> [ ]'s
>

Seja E uma extensão de F no qual f(x) tem uma raiz "b".
É fácil ver que, nesse caso, para todo "r" em Z_p, b + r também é raiz, o
que dá um total de p raízes.
Ou seja, em E, f(x) = (x-b)(x-b-1)(x-b-2)...(x-b-p+1).
Se "b" pertence a F, então acabou.

Suponhamos, portanto, que f(x) não tenha raízes em F mas que seja redutível
sobre F.
Então, f(x) = g(x)h(x), onde g e h pertencem a F[x], grau(g) = n >= 1 e
grau(h) >= 1.
Podemos supor s.p.d.g. que g(x) é mônico (já que f(x) também é).
Então, sobre E, g(x) = (x - b - r_1)(x - b - r_2)...(x - b - r_n), onde os
r_i são elementos distintos de Z_p (ou mais precisamente, do subcorpo primo
de F, o qual é isomorfo a Z_p).
Como g(x) pertence a F[x], temos que:
coeficiente de x^(n-1) de g(x) =
-(b+r_1)-(b+r_2)-...-(b+r_n) =
-nb - r_1 - ... - r_n = k pertence a F ==>
b = -(k + r_1 + ... + r_n)/n pertence a F ==>
contradição, pois b é raiz de f(x), o qual não tem raízes em F ==>
f(x) é irredutível sobre F.

***

O que podemos dizer sobre a reducibilidade de x^p - x - a sobre Q, onde p é
primo e a é inteiro e primo com p?

[]s,
Claudio.

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================