Re: [obm-l] Uma certa confusao

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Fri, May 07, 2004 at 12:14:11PM -0300, Will wrote:
> 
> Arthur, se tiver como buscar para nós um destes exemplos ou então, se você
> lembrar, apontar uma bibliografia, seria ótimo :-)
> 
> Me refiro a  funções tal que " restricoes de f a todas as retas que passem
> por um ponto x sejam continuas mas que f, entretanto, naum seja continua em
> x."

Seja h uma função contínua, igual a 0 fora do intervalo [0,1] com h(1/2) = 1.
Seja A = {(x,y) | x > 0, x^2 < y < 2x^2}, o ângulo entre duas parábolas.
Note que A é um conjunto aberto contido no primeiro quadrante. 

Defina f(x,y) = h((y-x^2)/x^2) se (x,y) pertence a A e
f(x,y) = 0 caso contrário. Em perticular, f(0,0) = 0.
A função f é claramente contínua fora do ponto (0,0).
Por outro lado f é obviamente descontínua em (0,0) pois
lim_{t -> 0, t > 0} f(t,3t^2/2} = 1.

A interseção de qualquer reta passando pela origem com a região A é
*ou* vazia *ou* um intervalo aberto cujo fecho não inclui o ponto (0,0).
Assim a restrição de f a qualquer reta (passando pela origem ou não)
é contínua.

[]s, N.






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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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