Re: [obm-l] Uma certa confusao

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

E aqui um exemplo de uma funcao f:R^2 -> R que possui
derivadas parcias em (0,0) mas naum todas as
direcionais.

f(x,y) = x+ y se x =0 ou se y=0
f(x,y) =1, para todos os outros pares (x,y)

No eixo horizontal (y=0), f(x,0) = x e df/dx(0,0) =1.
Analogamente, df/dy(0,0) =1. Mas, se nos aproximarmos
de (0,0) segundo qualquer vetor u naum paralelo aos
eixos, temos, para todo real t<>0, que (f(t*u) -
f(0,0))/t = 1/t, que naum apresenta limite quando
t->0. Logo, as 2 derivadas parciais de f existem em
(0,0), mas nenhuma outra derivada direcional existe
neste ponto. Alem disto, verificamos tambem que f eh
descontinua em (0,0). 
Este exemplo considera uma funcao um tanto patologica,
mas hah outros com funcoes mais razoaveis.
Artur    


--- "claudio.buffara" <claudio.buffara@terra.com.br>
wrote:
> Dê uma olhada na mensagem que o Artur enviou ontem e
> que o Paulo Santa Rita destacou.
> 
> O problema é que, ao contrário do caso
> uni-dimensional, a existência de todas as derivadas
> parciais de uma função em todos os pontos do seu
> domínio (suposto ser um subconjunto aberto do R^n, n
> > 1) é uma condição relativamente fraca, que não
> garante nem que a função é contínua.
> 
> Por exemplo, tome f: R^2 -> R dada por:
> f(0,0) = 0
> e
> f(x,y) = xy/(x^2 + y^2), se (x,y) <> (0,0)
> 
> Para garantir continuidade, por exemplo, precisamos
> supor adicionalmente que o domínio é convexo e que
> as derivadas parciais são limitadas (condições que
> são suficientes mas não necessárias para
> continuidade).
> 
> O moral da história é o seguinte:
> A existência de todas as derivadas parciais de f, a
> existência de todas as derivadas direcionais de f, e
> a diferenciabilidade de f são três condições bem
> diferentes no R^n, quando n > 1.
> 
> []s,
> Claudio.
> 
> 
> 
> De:owner-obm-l@mat.puc-rio.br
> 
> Para:obm-l@mat.puc-rio.br
> 
> Cópia:
> 
> Data:Thu, 6 May 2004 23:42:45 -0300
> 
> Assunto:Re: [obm-l] Uma certa confusao
> 
> 
> 
> > Olá amigos.
> > Qual é o problema com as derivadas parciais?
> >
> > Um abraço,
> >
> > Gabriel
> >
> > ----- Original Message -----
> > From: "Artur Costa Steiner"
> > Subject: [obm-l] Uma certa confusao
> >
> >
> > > Eu acho que neste problemas sobre derivadas
> parciais
> > > que tem circulado na lista estah havendo uma
> certa
> > > confusao.
> >
> >
>
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> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
> >
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> >
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