[obm-l] Teoria dos Numeros-Soluçao de um Hojoo Lee

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <peterdirichlet2002@xxxxxxxxxxxx>]

Ola turma!!!

Como disse o Claudio, vamos nos esbaldar em problemas.TN nao e meu preferido mas...

Acabei de dar uma passada pelo site do Hojoo Lee e fiz esse problema da apostila de TN.Vejam so que legal...

 

 

 

"Seja p um primo impar.

Prove que existem infinitos primos x tais que 2p divide x-1".

 

SOLUÇAO:

 

Considere alguns primos da forma 2pk+1, no conjunto { p_1 ,..., p_n } .

Seja a o produto desses caras, N=a^p-1, e m um cara tal que

(a-1)m=N.

Nao deve ser difícil ver que a=1 (mod p), logo p|m e p|N.

Seja q um fator primo de m com q<>p. Veja que q nao divide a-1, senao a^L=1 (mod q) para todo L, e ai 0=m=1+1+1+...+1=p (mod q), impossivel.

Apesar disso, q divide a^p-1 e q divide a^(q-1)-1. Um teorema famoso garante que q divide a^(MDC(p;q-1))-1. Mas q nao divide a-1, e assim  MDC(p;q-1)<>1 e ainda por cima MDC(p;q-1) divide p. Logo esse MDC tem que ser p. E assim q=1 (mod p).

Veja que a nao e par e m tambem nao (um numero impar de parcelas impares). E como q divide m, q e impar.Logo q=1 (mod 2p).

E e claro que q nao divide p_i , 1<=i<=n, pois senao q|N acarreta q|(-1), absurdo!

Assim, dado um conjunto finito de primos da forma 1+2kp, sempre e possivel arranjar mais um que nao esta no conjunto. Essa e uma boa definiçao de  infinito, ces nao acham?

 

E por hoje e so!

Ass.:Johann

TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI

CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE

Fields Medal(John Charles Fields)

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