[obm-l] RE: [obm-l] envoltória convexa e conjuntos compactos

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Eduardo e demais
colegas desta lista ... OBM-L,

Achei o primeiro interessante. Vou dar uma ajuda.

Seja C o conjunto de todas as "combinacoes lineares" de elementos de X.
OBS : alguns autores chamam este tipo de combinacao de "combinacao
convexa".


Eu afirmo que :
1) C esta contido em Y, qualquer que seja o Y convexo que contem X.

Isso e evidente com dois pontos de X ... se p1 e p2 estao em X e se
a1 + a2 = 1 entao a1*p1 + a2*p2 esta em Y para qualquer Y convexo que
contem X, em virtude da definicao de conjunto convexo.

Nao tao evidente porem igualmente simples e o fato de que para 3
pontos de X continua valendo a afirmacao ...

Se a1 + a2 + a3 = 1 entao, sem perda de generalidade, podemos
supor a3 # 1. Neste caso :

a1 + a2 = 1 - a3   => a1/(1 - a3)   +    a2/(1 - a3) = 1
Recaimos no caso anterior. Logo :

[a1/(1-a3)]*p1  +  [a2/(1 - a3)]*p2 esta em Y para qualquer Y
convexo que contem X. Agora, notando que a expressao acima
e um ponto e que (1-a3) + a3 = 1, ficara :

(1 - a3)*{ [a1/(1-a3)]*p1  +  [a2/(1 - a3)]*p2 } + a3*p3 esta em
Y, qualquer que seja o Y convexo que contem X, isto e:

Se a1 + a2 + a3 = 1  e  p1, p2, p3 estao em X, entao :
a1*p1 + a2*p2 + a3*p3 esta em Y, qualquer que seja o Y
convexo que contem X

E claro que podemos usar o mesmo raciocinio e supondo valido
para N elementos de X provar a implicacao para N+1 elementos,
isto e, usar uma inducao. Faca isso. Voce tera demonstrado o
que afirmei em 1).


Mas tambem afirmo que :
2) C e convexo e C contem X

Com sinceridade e sem querer ferir suscetibilidades, concorde
comigo que a afirmacao acima e quase o obvio ululante ...

Se "a" esta em X entao a=1*a + 0*a, logo, "a" esta em C. Portanto,
C contem X.

Se A=a1*p1 + ... + an*pn  e  B=b1*q1 + ... + bk*qk estao em C,
com a1 + ... + an = 1  e  b1 + ... + bk = 1 entao claramente que
que t*A + (1-t)*B esta em C, para todo 0 <= t <= 1. Vale dizer :
C e convexo.

E finalmente afirmo que :
Os fatos 1) e 2) implicam que C = C(X).

E a conclusao. Voce faz



Um Abraco
Paulo Santa Rita
5,0935,290404


>From: "Eduardo Cabral" <eduardo_cabral9@hotmail.com>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: [obm-l] envoltória convexa e conjuntos compactos
>Date: Thu, 29 Apr 2004 05:27:34 +0000
>
>Gostaria de ajuda nos seguintes problemas:
>
>1)Dado X c R^n, a envoltória convexa de X é a interseção C(X) de todos os 
>subconjuntos convexos de R^n que contêm X. Prove que C(X) é o conjunto de 
>todas as combinações lineares a_1*x_1+...+a_k*x_k tais que x_1,...,x_k 
>pertencem a X , a_1>=0, ..., a_k>=0 e a_1+...+a_k=1
>
>
>2)Seja X c R^n . Se todo conjunto homeomorfo a X for limitado então X é 
>compacto.
>
>3)Se todo Y c R^n homeomorfo a X for fechado então X é compacto.
>
>valeu
>
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