[obm-l] Problema da função da eureka 18

["Villard" <villard@xxxxxxxxxxxx>]

Como prometido, segue minha solução para o problema 83 da
eureka 18 (colocarei resumida, pois é meio longa):

Seja (*)
f(m+f(n))=f(f(m)) + f(n). 
Faça m=n=0: Isso nos dá f(0)=0.
Faça n=0:
f(m)=f(f(m)). Então (*) vira f(m+f(n)) = f(m)+f(n).
Seja I =
{0,1,2,...,2002}.

Caso 1: f se anula todo o conjunto I.
Fazendo
n=2003, temos que f(m+2003) = f(m) + 2003, logo os valores de f são 0,0,
...,0,2003,2003, ...,2003,4006,4006, ... 4006,6009,.... ou seja, f(m) =
2003*(parte inteira [m/2003])

Caso 2: f não se anula em todo o
conjunto I.
Seja u o menor valor positivo de f(I). Então existe k em
I tal que f(k) = u. Fazendo n = k, temos que f(m+u)=f(m)+u . Usando isso
repetidas vezes,  temos que f(j*u) = j*u, para todo inteiro j. Agora
divida 2003 por u: Temos que 2003 = q *u+r, onde 0<=r<u. Então ,
fazendo m=r e n=qu, temos que 
f(r+f(qu)) = f(r)+f(qu),  logo
f(r+qu) = f(r) + qu, logo f(2003) = f(r) + qu, ou seja, f(r) = 2003 - qu =
r,  logo f(r) = r. Como r está na imagem de f, temos que r = 0, ou r
>= u (este segundo caso não pode, pois r < u). Logo, u é divisor de
2003, portanto (como 2003 é primo), temos que u=1 ou u=2003.
se u = 2003
(como é mínimo), temos que os valores de f são 0, 2003, 2003, ...,2003,
4006,4006, ..., 4006, 6009,... ou seja, f(m) = 2003*(1+parte
inteira[(m-1)/2003]).
se u = 1, temos que f(m+1) = f(m) + 1, logo (por
indução), temos que f(m) = m.
Isso dá o total de 3
funções.

Abraços, 
 Villard

--------- Mensagem Original --------
De: obm-l@mat.puc-rio.br
Para: "obm-l@mat.puc-rio.br" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Assunto: [obm-l] Eureka 18 e Olimpiada Cearense
Data: 25/04/04 23:18


> então parece que qualquer valor de k serve, mas f(1) <= 2003, então temos
> 2004 valores para f(1), cada um determinando uma função diferente.
>
> acho que é isso...

opa, mas f(2003) = 2003
2003 = q*k + r => f(2003) = f(q*k + r) = (q + r)k <=> r = 0 <=> k|2003

então temos que tomar f(1) como divisor de 2003
desculpem pelo erro bobo, espero que agora sim esteja correto!

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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