Re: [obm-l] GEOMETRIA

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Re: [obm-l] GEOMETRIA

on 21.04.04 00:28, Andre at webwildesign@hotmail.com wrote:

> Num triângulo ABC, retângulo em A e isósceles, seja D um ponto do lado AC (D diferente de A e C) e seja E o ponto do prolongamento do lado BA tal que o triângulo ADE é isósceles. Se P é o ponto médio do segmento BD, R é o ponto médio do segmento CE e Q o ponto onde se cortam as retas ED e BC, demonstre  que o quadrilátero ARQP é um quadrado.

Usando complexos e colocando a origem em B e o eixo real coincidindo com BC (C = 1):

B = 0
C = 1
A = 1/2 + (1/2)*i
Q = a
E = a + a*i

Mas o triangulo DQC eh retangulo em Q e isosceles.
Logo, QD = QC ==> 
b = 1-a ==>

D = a + (1-a)*i
P = (B+D)/2 = (a/2) + ((1-a)/2)*i
R = (C+E)/2 = (a+1)/2 + (a/2)*i

Isso implica que:
P - Q = -a/2 + ((1-a)/2)*i 
A - P = (1-a)/2 + (a/2)*i
R - A = a/2 + ((a-1)/2)*i
Q - R = (a-1)/2 - (a/2)*i

E, portanto:
(P-Q) + (R-A) = 0
(A-P) + (Q-R) = 0 ==> 
APQR eh losango

Alem disso:
i*(A - P) = -(a/2) + ((1-a)/2)*i = P - Q ==>
P - Q eh perpendicular a A - P ==>
APQR eh quadrado

[]s,
Claudio.