Analise os 7 casos possiveis, a == 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6 (mod 7). Alias, nem precisa analisar todos, jah que k^2 == (7-k)^2 (mod 7). A solucao sai facilmente.
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Sobre a generalizacao, suponhamos que a condicao seja: a, b pertencem a X ==> ab + k pertence a X, com k = inteiro fixo.
Entao: a pertence a X ==> a^(n+2) + k*(a^n + a^(n-1)+...+ a + 1) = a^(n+2) + k*(a^(n+1) - 1)/(a - 1) pertence a X para todo n.
Definimos a sequencia (b(n)) da seguinte forma: b(0) = a b(n) = a*b(n-1) + k, para n >= 1.
Eh claro que b(1) = a^2 + k = p > a e tambem que mdc(a,p) = 1 (jah que a e p sao primos distintos). Tambem eh claro que b(n) = a^(n+1) + k*(a^n - 1)/(a - 1) pertence a X.
Mas, pelo pequeno teorema de Fermat, a^p == a e a^(p-1) == 1 (mod
p).
Logo, b(p-1) == a = b(0) (mod p) ==> b(p) = a*b(p-1) + k == a*b(0) + k = b(1) = p (mod p) ==>
p = b(1) divide b(p) ==> b(p) eh composto ==> contradicao ==> X eh vazio.
Qualquer semelhanca coma demonstracao do Gugu NAO eh mera coincidencia.
[]s, Claudio.
on 20.04.04 13:46, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet at peterdirichlet2002@yahoo.com.br wrote:
> Onde esta ela? > Alias sera que da para generalizar esse quatro? > > --- Claudio Buffara > escreveu: > on > 17.04.04 10:56, Johann Peter Gustav Lejeune >> Dirichlet at >> peterdirichlet2002@yahoo.com.br wrote: >> >> Seja X o conjunto dos primos tais que se a e b >> sao dois elementos dele entao >> ab+4 e a^2+4 tambem estao.Prove ou disprove: X >> e vazio >> >> Alem da solucao do Gugu, existe uma
outra, >> encontrada pelo Carlos Yuzo Shine >> usando congruencia mod 7. >> >> >> []s, >> Claudio. >> >>
========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI
CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE