Re: [obm-l] matrizes

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

----- Original Message -----
From: "Raphael Marx" <obm_2003@hotmail.com>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Monday, April 19, 2004 1:58 PM
Subject: [obm-l] matrizes


> Seja a matriz A de ordem n que admite a existêcia de sua inversa A^(-1).
> Sabendo-se que a matriz admite a seguinte propriedade abaixo:
> I e a matriz de identidade de ordem n
>
>
> item a
>
> encontre uma matriz 2x2 onde vale a seguinte relação:
> A + A^(-1) = I
>
Multiplicando por A e re-arranjando, obtemos A^2 - A + I = 0.
Seja p(x) = x^2 - x + 1, cujas raízes são r = (1+raiz(5))/2 e 1/r =
(1-raiz(5))/2.
Tome A = diag(r,1/r). A é raiz do seu polinômio mínimo, igual a p(x) e,
portanto, satisfaz a relação A + A^(-1) = I.

> item b
>
> b pertence ao conjunto de inteiros {-2, -1,+1,+2}
> k pertence aos naturais
> A^k  +  A^(-k) = b*I
> prove que b esta limitado somente e apenas somente àqueles valores.para
> qualquer valor de k natural
>
Usando a matriz A do item (a), teremos:
A^k + A^(-k) = diag( r^k + (1/r)^k , r^k + (1/r)^k ) = (r^k + (1/r)^k)*I.
Agora, basta mostrar que r^k + (1/r)^k pertence a {-2,-1,1,2}, para todo k
natural.
Uma idéia é usar indução.
Outra é encontrar uma relação de recorrência cuja solução seja:
a(k) = r^k + (1/r)^k para todo k natural.
Por exemplo, podemos tomar:
a(1) = 1, a(2) = -1 e, para k >= 3, a(k) = a(k-1) - a(k-2).
Isso implica que:
a(3) = -1 - 1 = -2;
a(4) = -2 - (-1) = -1;
a(5) = -1 - (-2) = 1;
a(6) = 1 - (-1) = 2;
a(7) = 2 - 1 = 1 = a(1);
a(8) = 1 - 2 = -1 = a(2)
A partir daí, fica fácil ver que os valores de a(k) se repetem com período
6, de modo que, para todo k natural, a(k) pertence a {-2,-1,1,2}.


[]s,
Claudio.



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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