Re: [obm-l] GEOMETRIA ESPACIAL

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Sejam A e B os vértices, P e Q os centros das bases dos cones maior e menor,
respectivamente.
As retas AB e PQ se encontram no ponto M que, de acordo com o enunciado,
estará sobre a borda da base do cone mais baixo, uma vez que a reta BM,
suporte da geratriz do cone menor, passa por A.

Teremos que:
AP = h = altura do cone mais alto;
BQ = k = altura do cone mais baixo;
PM = r + 2s;
QM = s.

Os triângulos APM e BQM são semelhantes. Logo:
AP/PM = BQ/QM ==>
h/(r+2s) = k/s ==>
h/k = (r+2s)/s = r/s + 2   (1).

Mas também sabemos que os volumes dos dois cones são iguais, de forma que:
(1/3)*Pi*r^2*h = (1/3)*Pi*s^2*k ==>
s^2/r^2 = h/k   (2)

(1) e (2) ==>
s^2/r^2 = r/s + 2.

Fazendo a = r/s, obtemos:
1/a^2 = a + 2 ==>
a^3 + 2a^2 - 1 = 0 ==>
(a + 1)*(a^2 + a - 1) = 0 ==>
a única raiz positiva é (raiz(5)-1)/2, que é o valor desejado de r/s (a
menos que eu tenha errado alguma conta).

[]s,
Claudio.



----- Original Message -----
From: "Márcio Barbado Jr." <marcio.barbado@poli.usp.br>
To: "Lista da OBM" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Monday, April 19, 2004 12:30 PM
Subject: [obm-l] GEOMETRIA ESPACIAL


> Senhores (as)
>
> Vejam se podem me ajudar com o problema abaixo. Embora possua a
> resposta, não vejo como chegar a ela. A resposta segue após o enunciado.
>
> Um abraço e obrigado pela atenção
>
> Dois cones tem suas bases se tangenciando e ambas contidas no mesmo
> plano. O cone de maior altura possui raio "r" e o outro possui raio "s".
> Encontrar o valor da relação "r/s" sabendo-se que os cones possuem mesmo
> volume e ainda, a reta suporte da geratriz do cone menor passa pelo
vértice
> do maior.
>
> RESP.: -2 + 2 . [5^(1/2)]
>
>
>
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================

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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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