[obm-l] Olimpiada da India - 1995

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

6) Ache todos os primos p tais que (2^(p-1) - 1)/p eh quadrado perfeito.

p = 2 nao satisfaz ao enunciado. Logo, p eh impar e 2^(p-1) =
(2^((p-1)/2))^2 = a^2 = quadrado de uma potencia de 2.

(2^(p-1) - 1)/p = b^2 ==>
a^2 - 1 = b^2*p ==>
(a - 1)*(a + 1) = b^2*p

a - 1 e a + 1 sao impares consecutivos e, portanto, primos entre si.
Isso quer dizer que p divide apenas um deles e que cada fator primo de b
tambem divide apenas um deles.

Suponhamos que b = m*n, onde m^2 divide a - 1 e n^2 divide a + 1.
Entao, (a - 1)*(a + 1) = m^2*n^2*p ==>
((a - 1)/m^2)*((a + 1)/n^2) = p

Caso 1: p divide a - 1 ==>
a - 1 = m^2*p   e   a + 1 = n^2 ==>
a = n^2 - 1 = (n - 1)*(n + 1)

Mas a = 2^((p-1)/2) ==>
existem inteiros nao-negativos x e y tais que:
n - 1 = 2^x e n + 1 = 2^y ==>
2^y - 2^x = 2 ==>
x = 1, y = 2 e n = 3 ==>
a = n^2 - 1 = 8 = 2^3 = 2^((p-1)/2) ==>
p = 7.

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Caso 2: p divide a + 1 ==>
a - 1 = m^2   e   a + 1 = n^2*p ==>
m eh impar   e   a - 2 = m^2 - 1 ==>
2^((p-1)/2) - 2 = (m - 1)*(m + 1) ==>
2*(2^((p-3)/2) - 1) = (m - 1)*(m + 1)
 
Mas se p > 3, entao 2^((p-3)/2) - 1 eh impar e teremos:
2*impar = par*par = 4*k ==>
impar = 2*k ==>
contradicao ==>
p = 3

Logo, os unicos primos que satisfazem ao enunciado sao p = 3 e p = 7.


[]s,
Claudio.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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