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[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Re:_[obm-l]_Equação_Trigonométrica!

To: <obm-l@xxxxxxxxxxxxxx>
Subject: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Re:_[obm-l]_Equação_Trigonométrica!
From: Rogério Moraes de Carvalho <rogeriom@xxxxxxx>
Date: Sat, 17 Apr 2004 15:26:54 -0300
In-Reply-To: <200404170749.i3H7nm7v006907@saci.mat.puc-rio.br>
Reply-To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Sender: owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Thread-Index: AcQj0eYsYOOHtiZRRDKKnel/ny6zQAAR1p6AACPfzFA=

Olá Carlos,

	Conforme o Rafael atentou numa mensagem privada, eu cometi um erro
primário.

Na realidade, a solução:
S = {x pertencente a R | x = +-pi/6 + 2k.pi, com k inteiro}
NÃO é equivalente ao conjunto solução dado pelo seu livro:
V = {x pertencente a R | x = pi/6+2kpi ou x = 5pi/6+2kpi, com k inteiro}

Pois -pi/6 é congruente ao arco 2pi - pi/6 = 7pi/6 e não 5pi/6 = pi - pi/6.

Eu realmente imaginei a equação como cos(x) = 1/2 ao invés de sen(x) = 1/2,
como o Rafael comentou.

Substitua:
x = +-pi/6 + 2k.pi, com k inteiro
por: 
x = pi/6+2kpi ou x = 5pi/6+2kpi, com k inteiro
na minha solução.

Rafael, muito obrigado,

Rogério Moraes de Carvalho
rogeriom@gmx.net


-----Original Message-----
From: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] On
Behalf Of Rogério Moraes de Carvalho
Sent: sábado, 17 de abril de 2004 04:50
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re:_[obm-l]_Equação_Trigonométrica!

Carlos,

	A seguir, eu apresento a minha resolução para o problema.
Analisando-a você poderá encontrar alguns pequenos problemas na sua
resolução. Observe que as duas resoluções são bem similares.

********
Questão:
********
Resolva em R, a seguinte equação.
2.sen(x).|sen(x)| + 3.sen(x) = 2

**********
Resolução:
**********
Considerando y = sen(x), teremos:
2.y.|y| + 3.y = 2 <=> 2.y.|y| + 3.y - 2 = 0

Pela definição de módulo de um número real, podemos dizer que:
|y| = y, se y >= 0
|y| = -y, se y < 0

Para y >= 0:
------------
2.y^2 + 3.y - 2 = 0
discriminante = 9 + 16 = 25
y = (-3 - 5) / 4 => y = -2 (não satisfaz a condição y >= 0)
ou
y = (-3 + 5) / 4 => y = 1/2 (satisfaz a condição y >= 0)

Para y < 0:
-----------
-2.y^2 - 3.y - 2 = 0 <=> 2.y^2 + 3.y + 2 = 0
discriminante = 9 - 16 = -7 (a equação não tem raízes reais)


Portanto, concluímos que um único valor de y satisfaz a equação 2.y.|y| +
3.y = 2: y = 1/2

Como y = sen(x), teremos:
sen(x) = 1/2 <=> x = +-pi/6 + 2k.pi, com k inteiro.

Resposta: S = {x pertencente a R | x = +-pi/6 + 2k.pi, com k inteiro}

************
Observações:
************
O conjunto solução:
S = {x pertencente a R | x = +-pi/6 + 2k.pi, com k inteiro}
é equivalente ao conjunto solução dado pelo seu livro:
V = {x pertencente a R | x = pi/6+2kpi ou x = 5pi/6+2kpi, com k inteiro}

Na realidade, a solução y = -2 não pode ser levada em consideração porque
não satisfaz a condição colocada inicialmente, ou seja, y >= 0.

Mesmo que y = -2 fosse uma solução satisfatória, nós teríamos que:
sen(x) = -2, o que é impossível no campo dos reais.
Seja a função f: R -> R, tal que f(x) = sen(x), nós teremos que o conjunto
imagem é dado por: Im(f) = [-1, 1], como você havia citado. Ou seja,
qualquer que seja o x real, sempre teremos -1 <= sen(x) <= 1. Portanto,
todas as soluções que estão fora deste intervalo devem ser desconsideradas,
como você observou no livro.

A sua conclusão colocada abaixo é correta.
sen(x) = -2 como,
sen(x) = -2.sen(pi/2)
Porém, esta outra forma de escrever não muda em nada a questão da
impossibilidade de se encontrar um x real tal que sen(x)=-2.sen(pi/2)=-2.

Apenas por curiosidade, a equação sen(x) = -2 tem solução no campo dos
números complexos (C). Porém, a resolução em C seria diferente desta
apresentada, uma vez que no conjunto dos números complexos não há relação de
ordem. Portanto, não teria sentido considerar y >= 0 ou y < 0 com y
complexo.

________________________________________
From: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] On
Behalf Of Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
Sent: sexta-feira, 16 de abril de 2004 13:36
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_Equação_Trigonométrica!

Se voce definir seno em complexos fica facil.Acho que e^it=cos t+ i*sen t

Rafael <cyberhelp@bol.com.br> wrote: 
Carlos,

Se sen(x) > 0, então 2 sen^2(x) + 3 sen(x) - 2 = 0

D = 3^2 - 4*2*(-2) = 9 + 16 = 25
sen(x) = (-3 +- 5)/4 ==> sen(x) = -2 ou sen(x) = 1/2

Como sen(x) > 0, então sen(x) = 1/2.

Logo, x = Pi/6 + 2*k*Pi ou x = 5Pi/6 + 2*k*Pi,
sendo k inteiro.

Se sen(x) < 0, então: - 2 sen^2 + 3 sen(x) - 2 = 0

D = 3^2 - 4*(-2)*(-2) = 9 - 16 = -7

Por D < 0, sabemos que as raízes dessa equação são valores para os quais
sen(x) é complexo não-real. Veja:

sen(x) = [-3 +- sqrt(7)*i] / (-4) ==>
==> sen(x) = [3 + sqrt(7)*i]/4 ou sen(x) = [3 - sqrt(7)*i]/4


Encontrar os valores de x que satisfazem a essas equações imagino que não
seja fácil, mas o exercício pede que você resolva em R. Assim, o conjunto
solução é aquele mesmo que você mencionou.


Abraços,

Rafael



---! -- Original Message -----
From: Carlos Alberto
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Friday, April 16, 2004 9:28 AM
Subject: [obm-l] Equação Trigonométrica!


Resolva em R, a seguinte equação.

2 . senx . |senx| + 3 . senx = 2

Desculpa a pertinência em enviar questão que foge do escopo da lista.
Mas não tenho muitos locais para recorrer.
Segue abaixo minha resolução que eu não considerei tanto correta.

Resolução.

|senx| < 0 ou
|senx| > 0

logo, para

|senx| < 0
-2 sen^2 x + 3 sen x - 2 = 0

Considerando sen x = t ( * )

-2 t^2 + 3t - 2 = 0

9 - 16 = - 7 ---> Não possui raízes reais, logo não convém.

|senx| > 0

2 sen^2 x + 3 sen x - 2 = 0
Considerando sen x = t

2 t^2 + 3 t - 2 = 0
t' = - 2 (**)
t" = 1/2 (***)

Substituindo (*) em (**) e (***) temos,

senx = 1/2
senx = sen pi/6

x = pi/6 + 2kpi ou
x = 5pi/6 + 2kpi

Bom... a! té aqui tudo bem!!!

A Solução do livro é:
V = { x pert R | x = pi/6 + 2kpi ou x = 5 pi/6 + 2kpi}

O que ocorre com o "sen x = -2"??

Reparei no livro que nºs > 1 e nºs < 1 são "aparentemente desconsiderados".

O pq disso? Eu imaginei sendo que a imagem de sen x = [-1, 1].

Mas não sei é realmente isso que ocorre.

Pois por outro lado eu enxergaria
sen x = -2 como,
sen x = -2 . sen pi/2

Alguém poderia esclarecer minha dúvida, e conferir se eu fiz algo errado na
resolução.

Desde já agradeço a atenção!!!

[ ], s Carlos


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References:
- [obm-l] RE: [obm-l] Re:_[obm-l]_Equação_Trigonométrica!
  - From: Rogério Moraes de Carvalho

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