[obm-l] RES: [obm-l] NOTAÇÃO DE DERIVADAS

["Ralph Teixeira" <RALPH@xxxxxx>]

    Oi, Alan. Aqui vai uma maneira de pensar nisso... Seja f(x) uma função derivável no ponto x=a. A reta tangente neste ponto pode ser escrita como:

 

    y-f(a) = f´(a) (x-a)

 

    Ou seja, a LINEARIZAÇÃO de f(x) no ponto x=a é a função:

 

    y=L(x)=f(a)+f´(a)(x-a)

 

    Bom, DEFINA dx, deltax, dy e deltay assim:

 

    dx = deltax = x - a (uma **variável independente** obtida a partir de x)

    deltay = f(x)-f(a) (uma **variável dependente**, determinada por x)

    dy = L(x)-L(a) (uma **variável dependente**, determinada por x, isto é, por dx)

 

    Note que L(a)=f(a), então dy=L(x)-f(a)=f´(a)(x-a)=f´(a)dx.

 

    Ou seja, dx e dy são simplesmente variáveis novas, obtidas a partir de x e y por uma "translação de coordenadas". dx não tem que ser "pequenininho", dx é uma variável independente que pode assumir qualquer valor real. Só que, dada f, a e dx, **se** dx é pequeno, então dy (calculado via f´(a)dx) é aproximadamente igual a deltay (= f(x)-f(a) = f(a+dx)-f(a) )... Esta aproximação é usada tão frequentemente que a gente esquece que dx pode muito bem assumir valores "grandes". Se dx=10000, dy=f´(a)(10000), exatamente.

   

    Graficamente, desenhe o gráfico de f(x) e sua tangente no ponto a; para um mesmo dx, você tem um deltay (medido usando o gráfico de f) e um dy (medido usando o gráfico da reta tangente). É isso.

 

    Note uma vantagem extra desta notação: você já não teve um ímpeto **errôneo** de dizer que a reta tangente à y=x^2 no ponto (x,y) é y-x^2=2x.(x-x), ou algo assim? O erro aqui é misturar o "x e y" da função com o "x e y" da reta tangente... Devia ser y-y0=2(x0).(x-x0), usando x,y para as variáveis na reta tangente e x0,y0=x0^2 para as variáveis na função. Usando dx e dy (ao invés de x e y) para representar as variáveis (devidamente transladadas) na reta tangente, eu "libero" a letra "x" para ser usado como era originalmente, na função original f, de volta no lugar desse "x0" chato. Assim, você automaticamente separa as variáveis usadas na reta tangente (dx e dy) das variáveis usadas na função (x e y): dy=2x.dx (ao invés de y-x0^2=2x0(x-x0)). 

 

    Então, quando você escreve d(x^2)=2x(dx), ou melhor, dy=2x(dx), esta é a equação DA RETA TANGENTE à curva y=x^2 no ponto (x,y)=(x,x^2).

   

    Esta idéia se estende para funções de várias variáveis, trocando "reta tangente" por "plano tangente". Assim, se f(x,y)=5xy+y^2, tem-se df=5ydx+(5x+2y)dy -- esta é, literalmente, a equação da linearização da função f(x,y) no ponto (x,y), usando as variáveis "df, dx e dy" ao invés de "z, x e y" para representar o plano.

 

    Abraço,

            Ralph