Como se não bastasse errar o enunciado para o caso de f ser não-crescente, como bem observou o Marcio, eu tambem troquei as bolas na dica que dei.
Sem dúvida, você deve considerar o supremo do conjunto:
S = {x em [a,b] | f(x) > x}.
Se f(a) = a ou f(b) = b, então acabou.
Caso contrário, teremos f(a) > a ==> a pertence a S ==> S <> vazio
Além disso, f(b) < b ==> b é cota superior de S ==> S tem um supremo s.
Se f(s) > s, então s pertence a S e, além disso, f(f(s)) >= f(s), pois f é não-decrescente. Logo f(s) pertence a S.
Mas s é o supremo de S, o que implica que f(s) <= s ==>
contradição ==>
f(s) <= s (*).
Se f(s) < s, então s não pertence a S.
Como f é não decrescente, teremos f(f(s)) <= f(s), o que implica que f(s) também não pertence a S.
Como s é supremo de S, deve haver algum x pertencente a S tal que f(s) < x < s.
Usando mais uma vez o fato de f ser não-decrescente, teremos:
f(f(s)) <= f(x) <= f(s) < x < s ==>
f(x) <= x ==>
x não pertence a S ==>
contradição ==>
f(s) >= s (**).
(*) e (**) implicam que f(s) = s ==>
f tem um ponto fixo em [a,b].
[]s,
Claudio.
| De: |
owner-obm-l@mat.puc-rio.br |
| Para: |
obm-l@mat.puc-rio.br |
| Data: |
Tue, 13 Apr 2004 13:09:40 -0700 (PDT) |
| Assunto: |
Re: [obm-l] Funções |
>
>
> > Uma outra condicao suficiente eh a de que f seja
> > monotona, ou seja:
> > para todos x e y em [a,b], x <= y ==> f(x) <= f(y)
> > (monotona nao-decrescente)
> > ou
> > para todos x e y em [a,b], x <= y ==> f(x) >= f(y)
> > (monotona nao-crescente)
> >
> > Alguem consegue demonstrar isso?
> > Dica (para o caso de f ser nao-decrescente): Se f(a)
> > = a, entao acabou. Caso
> > contrario, seja s = supremo de {x em [a,b] | f(x) <
> > x}. Quem eh f(s)?
>
> Partindo-se desta dica, temos que, se f(b) =b, entao
> tambem acabou. Caso contrario, temos necessariamente
> que f(b)
> conjunto S= {x em [a,b] | f(x) < x}. Logo, S naum eh
> vazio e, como eh limitado superiormente por b, temos
> que supremo S = s = b. Assim, f(s)
> dica parece acenar que teriamos f(s) =s.
> Serah que devemos considerar o conjunto R = {x em
> [a,b] | f(x) > x}?
> Artur
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