Caro "J.P.G.L. Dirichlet",
Eu estive pensando sobre o seu problema e provarei um caso particular,
admitindo que o quadril�tero c�clico seja um quadrado e M seja um ponto
qualquer do primeiro quadrante e no interior desse quadrado. A demonstra��o
para M nos outros quadrantes � an�loga, portanto omitirei. No caso mais
geral de um quadril�tero c�clico qualquer, n�o ser� muuuuito dif�cil provar,
talvez um pouco trabalhoso, mas como voc� ama trigonometria, vai adorar...
Suponhamos que M tenha coordenadas (x;y). Imaginando um quadrado inscrito na
circunfer�ncia de equa��o x^2 + y^2 = r^2, a proje��o ortogonal de M em BC
gera F e em AD gera H; o ponto m�dio de FH ser� o ponto P(0;y). A proje��o
ortogonal de M em AB gera o ponto E e em CD gera o ponto G; o ponto m�dio de
EG ser� o ponto Q(x,0). Agora, lembremo-nos de que as diagonais do quadrado
est�o contidas nas bissetrizes dos quadrantes pares e �mpares de equa��es,
respectivamente, x + y = 0 e x - y = 0. A proje��o ortogonal de M em BD gera
o ponto L(a,a) e em AC o ponto K(-b,b); para descobrimos tais coordenadas,
levamos em conta que a dist�ncia entre os pontos M e L ser� igual �
dist�ncia do ponto M � reta bissetriz dos quadrantes �mpares;
semelhantemente, a dist�ncia entre os pontos M e K ser� igual � dist�ncia do
ponto M � reta bissetriz dos quadrantes pares. Assim:
sqrt((x - a)^2 + (y - a)^2) = |x - y|/sqrt(2)
e
sqrt((x + b)^2 + (y - b)^2) = |x + y|/sqrt(2)
Desenvolvendo essas equa��es e resolvendo para 'a' e 'b', obteremos:
a = (x + y)/2 e b = (y - x)/2
Portanto, L((x + y)/2 ; (x + y)/2) e K((x - y)/2 ; (y - x)/2).
O ponto m�dio de KL ser� o ponto R(x/2 ; y/2).
Calculando o determinante da matriz correspondente aos pontos P, Q e R:
| x 0 1 | | 1 0 1 |
| 0 y 1 | = xy | 0 1 1 |
| x/2 y/2 1 | | 1/2 1/2 1 |
Pelo teorema de Jacobi, podemos multiplicar a terceira linha por 2 e
subtrair da primeira linha:
| 0 1 1 |
xy | 0 1 1 | = 0
| 1/2 1/2 1 |
T�nhamos, assim, uma das linhas da matriz como combina��o linear de outras
duas; sabemos que quando duas filas paralelas s�o iguais o determinante �
nulo. Logo, se o determinante � nulo, os pontos s�o colineares, conforme
quer�amos demonstrar.
� claro que a solu��o foi facilitada, pois conhec�amos de antem�o as retas
que cont�m as diagonais do quadrado, as coordenadas dos pontos P e Q,
enfim... Tudo isso ter� de ser esquecido para um quadril�tero c�clico
qualquer e a� est� a parte trabalhosa. Ressalto que esta foi apenas uma
sugest�o, em que aproveitei para demonstrar um caso particular desse
teorema.
Abra�os,
Rafael de A. Sampaio
----- Original Message -----
From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Monday, March 22, 2004 8:04 PM
Subject: [obm-l] Quadrilatero ciclico
ABCD � um quadril�tero c�clico. M � um ponto qualquer. E, F, G, H, K, L s�o
as proje��es de M em AB, BC, CD, DA, AC, BD, respectivamente. Prove que os
pontos m�dios de EG, FH, KL s�o colineares.
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