Re: [obm-l] Progressão

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Ou entao usando fracoes parciais e observando que:

1/(a_k*a_(k+1)) =
1/((a_1 + (k-1)*r)*(a_1 + k*r)) =
(1/r)*(1/(a + (k-1)*r) - 1/(a + k*r)) =
(1/r)*(1/a_k - 1/a_(k+1))

o que faz com que a soma (de k = 1 ateh n-1) fique telescopica e igual a:

(1/r)*(1/a_1 - 1/a_n) =
(1/r)*(a_n - a_1)/(a_1*a_n) =
(1/r)*((n-1)*r)/(a_1*a_n) =
(n-1)/(a_1*a_n).

[]s,
Claudio.

on 03.04.04 00:17, Ricardo Bittencourt at ricbit@700km.com.br wrote:

> Daniel Silva Braz wrote:
> 
>> Prove que os termos de uma P.A. qq em que 0 não
>> participa verificam a relação:
>> 1/a1a2 + 1/a2a3 + 1/a3a4 + ... + 1/(an-1)an =
>> (n-1)/a1an
> 
> Por indução, pra n=1:
> 
> 1/a1a2=(2-1)/a1a2 (ok)
> 
> Supondo válido para an:
> 
> {1/a1a2 + 1/a2a3 + 1/a3a4 + ... + 1/(an-1)an} + 1/an(an+1) =
> (n-1)/a1an + 1/an(an+1)=
> 1/an*( (n-1)/a1 + 1/(an+1) )=
> 1/an*( (n-1)*(an+1)/a1(an+1) + a1/a1(an+1) )=
> 1/(a1.an.an+1)* ((n-1)*(an+1) + a1)
> 
> Mas:
> 
> a1 = a1+0*k
> a2 = a1+1*k
> a3 = a1+2*k
> ...
> an   = a1+(n-1)*k
> an+1 = a1+n*k
> 
> 1/(a1.an.an+1)* ((n-1)*(a1+n*k) + a1) =
> 1/(a1.an.an+1)* ((n-1)*a1+n(n-1)*k) + a1) =
> 1/(a1.an.an+1)* (n*a1+n(n-1)*k) =
> n/(a1.an.an+1)* (a1+(n-1)*k)=
> n/(a1.an.an+1)* an=
> n/a1an+1=
> ((n+1)-1)/a1an+1  (ok)
> 
> Tendo a base e passo indutivo ok, então a
> proposição é verdadeira.
> 


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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