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Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_Polin�mio_Irredut�vel



e sempre bom tentar fatorar em C antes de se aventurar perigosamente.Mas em geral nao e possivel dizer isso.

Cl�udio_(Pr�tica) <claudio@praticacorretora.com.br> wrote:
Eu formulei mal a minha d�vida abaixo, pois � claro que existem casos mais ou menos �bvios onde o resultado n�o � verdade. Por exemplo, f(x) = x - a^k, com a em F e k > 1 ==> f(x^m) ser� redut�vel se mdc(m,k) > 1.
 
A d�vida surgiu ao tentar calcular o polin�mio m�nimo de (2^(1/3) - i)^(1/2):
x = (2^(1/3) - i)^(1/2) ==>
x^2 + i = 2^(1/3) ==>
x^6 + 3ix^4 - 3x^2 - i = 2 ==>
(x^6 - 3x^2 - 2)^2 = -(1 - 3x^4)^2 ==>
x^12 + 3x^8 - 4x^6 + 3x^4 + 12x^2 + 5 = 0
 
Olhando essa equa��o em Z_3, obtemos:
x^12 + 2x^6 + 2 = 0.
 
Foi a� que surgiu a d�vida, pois f(x) = x^2 + 2x + 2 � irredut�vel sobre Z_3.
A partir disso, podemos concluir que f(x^6) = x^12 + 2x^6 + 2 tamb�m �?
 
[]s,
Claudio.
----- Original Message -----
From: Cl�udio (Pr�tica)
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Wednesday, March 31, 2004 12:34 PM
Subject: [obm-l] Polin�mio Irredut�vel

Oi, pessoal:
 
Tenho a seguinte d�vida:
Se F � um corpo e f(x) � um polin�mio irredut�vel sobre F, ent�o � verdade que, para cada inteiro positivo n, o polin�mio g(x) = f(x^n) tamb�m � irredut�vel sobre F?
 
Se for verdade, isso vale pra qualquer corpo?
 
Agrade�o qualquer ajuda.
 
[]s,
Claudio.


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