Re: [obm-l] Topologia -problema do Tertuliano

Nossa, ce tem amigos estadunidenses?????

Artur Costa Steiner <artur_steiner@yahoo.com> wrote:

Bom dia,
Hah alguns dias o Tertuliano enviou para a lista
alguns problemas de Topologia bem interessantes que
ele disse que estavam virando pesadelo. Acho que 2
deles ja foram resolvidos. Para o que faltava, o
primeiro, o Tertuliano comecou apresentando uma
solucao que me pareceu correta mas que nao chegou ao
final. Eu tentei prosseguir na linha dele mas
complicou.
Eu ontem conversei com um amigo meu, americano, que em
Matematica estah bilhoes de anos luz aa minha frente e
ele, apos ouvir o problema, disse "It's kinda obvious,
man!" e alinhavou uma solucao obvia (nao deu para
entrar em muitos detalhes na hora porque era uma
ligacao internacional) que eu agora vou concluir
fazendo a parte da transpiracao, jah que ele deu a
inspiracao. Pelo menos, a sugestao inicial foi minha,
ou seja, considerar que se um espaco metrico nao eh
compacto entao ele tem uma sequencia sem nenhuma
subsequencia convergente. Grande! Ninguém sabia disto!

Seja X um espaco metrico tal que, para toda funcao f:X
-(0, inf), continua e positiva, tenhamos inf{f(x) | x
estah em X} >0. Entao, X eh compacto.

Raciocinando por contraposicao, suponhamos que X nao
seja compacto e vamos produzir uma funcao f, f:X ->(0,
inf), continua e positiva, mas tal que inf{f(x) | x
estah em X} =0. Como X naum eh compacto, existe nele
uma sequencia {x_n} que nao contem nenhuma
subsequencia convergente. Como esta sequencia contem
necessariamente uma infinidade de termos distintos (ou
teria uma subseq. convergente), podemos admitir, sem
perda de generalidade, que seus termos sao distintos 2
a 2.
Seja E = {x_1, x_2...x_n...}. E nao possui pontos de
acumulacao (se possuisse um deste pontos, ele seria,
automaticamente, limite de alguma subseq. de {x_n},
contrariamente aa hipotese estabelecida) e, desta
forma, eh um conjunto fechado. Para cada n, definamos
E_n = E/{x_n} (o complemento de {x_n} com relacao a
E). Como cada {x_n} eh fechado, segue-se que cada E_n
tambem eh. E como E eh infinito, nenhum e_n eh vazio.

Definamos agora, para cada natural n, f_n:X->[0,1) por
f_n(x) = D(x,E_n)/(1+D(x,E_n)), d distancia definida
em X, e D, de um ponto a um conjunto nao vazio, dada
por D(x,E_n) = inf{d(x,u) | u estah em E_n}. Sabemos
que a funcao D eh continua (uniformemente) em X.
Sabemos tambem que a distancia de um ponto a um
conjunto eh nula se, e somente se, o ponto pertencer
ao fecho do conjunto. Como cada E_n eh fechado,
segue-se que a distancia de algum elemento de X a ele
eh nula sse o o elemento pertencer a E_n. Dado que o
denominador na definicao de f_n nunca se anula, temos
entao que cada f_n eh continua em X. Alem disto,
f_n(x)=0 sse x estiver em E_n. Eh tambem imedediato
que 0<=f_n(x)<1 para todo x de X.

Definamos agora f:X->(0, inf) pela serie de funcoes
dada por f(x) = Soma(n=1, inf) 2^(-n)*f_n(x). Para
vermos que esta definicao faz sentido, observemos que,
para todos naturais m>n e todo x de X, Soma(k=n, m)
2^(-k)*f_k(x) <= Soma(k=n, m) 2^(-k) < Soma(k=n, inf)
2^(-k) = 2^(-n+1). Como esta desigualdade vale para to
n e todo x de X, concluimos pelo criterio de Cauchy
que a serie de funcoes Soma(n=1, inf) 2^(-n)f_n
converge uniformemente em X para uma funcao f, de modo
que nossa definicao de f faz sentido. Alem disto, como
cada f_n eh continua, segue-se que 2^(-n)*f_n tambem
eh, disto decorrendo, em virtude da convergencia da
serie ser uniforme, que a funcao limite f eh continua
em X. E da definicao da serie, eh imediato que f(x)>=0
para todo x de X.

Para concluir, resta agora demonstrar que inf{f(x) | x
estah em X} = 0. Em virtude da definicao dos conjuntos
E_n, temos que cada x_k pertence a E_n se n<>k e nao
pertence se n=k. Logo, D(x_k, E_n) = 0 se n<>k e >0 se
n=k. A definicao de f acarreta entao que f(x_k) =
2^(-k)*f_k(x_k) < 2^(-k), pois 0Fazendo-se k -> inf, f(x_k) ->0, o que implica que
inf{f(x) | x estah em X} = 0.

Concluimos assim que, se X nao for compacto, entao
existe uma f:X ->(0, inf), continua e positiva, mas
tal que inf{f(x) | x estah em X} =0. Isto demonstra a
proposicao.

Artur

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