Re: [obm-l] Somatorios de k^6 e de k^8

[Daniel Silva Braz <dsbraz@xxxxxxxxxxxx>]

Prof. Nicolau,
por acaso este livro que vc cita é este??

Matemática Concreta: Fundamentos para a Ciência da
Computação DONALD E. KNUTH   OREN PATASHNIK   ET AL.  
 RONALD L. GRAHAM  
http://www.submarino.com.br/books_productdetails.asp?Query=ProductPage&ProdTypeId=1&ProdId=41736&ST=SE

Daniel S. Braz

========================

 --- "Nicolau C. Saldanha" <nicolau@mat.puc-rio.br>
escreveu: > On Sat, Mar 27, 2004 at 01:27:51PM -0200,
Augusto
> Cesar de Oliveira Morgado wrote:
> > Algum feliz proprietario de um Maple ou similar
> poderia me dar os valores dos 
> > somatorios de k^6 e k^8? Em ambos, k varia de 1
> ate n.
> > Antecipadamente grato.
> > Morgado
> > OBS: Eu sei calcular os somatorios, so quero as
> respostas.
> 
> Outros já responderam a pergunta do Morgado, então
> eu vou responder
> a pergunta que o Morgado *não* fez, que é como
> calcular estas coisas *sem*
> usar o Maple. Estou quase copiando a seção 6.5 do
> Matemática Concreta,
> de Graham, Knuth e Patashnik que fala de números de
> Bernoulli.
> 
> Escreva S_m(n) = 0^m + 1^m + ... + (n-1)^m.
> Não é difícil provar que
> 
> S_m(n) = (1/(m+1)) SOMA_{0 <= k <= m}
> binomial(m+1,k) B_k n^{m+1-k}
> 
> onde B_k são os números de Bernoulli, com valores
> iguais a
> 1, -1/2, 1/6, 0, -1/30, 0, 1/42, 0, -1/30, 0, 5/66,
> 0, -691/2730, ...
> e que podem ser definidos por
> 
> z/(e^z - 1) = SOMA_{n >= 0} B_n z^n/n!.
> 
> Usando a fórmula para S_m, não é difícil montar uma
> tabela de coeficientes.
> 
> S_0(n) = n
> S_1(n) = 1/2 n^2 - 1/2 n
> S_2(n) = 1/3 n^3 - 1/2 n^2 + 1/6 n
> S_3(n) = 1/4 n^4 - 1/2 n^3 + 1/4 n^2 + 0 n
> S_4(n) = 1/5 n^5 - 1/2 n^4 + 1/3 n^3 + 0 n^2 - 1/30
> n
> S_5(n) = 1/6 n^6 - 1/2 n^5 + 5/12 n^4 + 0 n^3 - 1/12
> n^2 + 0 n
> 
> Em cada coluna, os coeficientes são dados por uma
> fórmula bem simples:
> uma constante misteriosa (o número de Bernoulli)
> vezes um binomial.
> Por exemplo, o coeficiente de n^(m+1) é 1/(m+1), o
> de n^m é -1/2,
> o de n^(m-1) é (1/(m+1)) binomial(m+1,2) B_2 = m/12,
> o de n^(m-2) é 0,
> o de n^(m-3) é (1/(m+1)) binomial(m+1,4) B_4 =
> -m(m-1)(m-2)/720
> e o de n^(m-4) é 0. Ajuda muito saber que B_n = 0
> para n ímpar e maior que 1.
> Mas o fato é que esta tabela triangular nos dá a
> cada passo o novo B_n,
> basta usar o fato óbvio que S_m(1) = 0 para m > 0.
> 
> []s, N.
> 
> 
>
=========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>
=========================================================================.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>
========================================================================= 

______________________________________________________________________

Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil! Abra sua conta agora:
http://br.yahoo.com/info/mail.html
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================