Re: [obm-l] Cálculo

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 28.03.04 22:59, Daniel Silva Braz at dsbraz@yahoo.com.br wrote:

> Pessoal,
> 
> Mostre que a área da superfície de uma zona de uma
> esfera que está entre dois planos paralelos é s =
> (pi)dh, onde d é o diâmetro da esfera e h é a
> distância entre os planos.
> 
> Daniel S. Braz
> 
Oi, Daniel:

A solucao do Artur eh impecavel, mas esse problema tambem pode ser resolvido
pelo teorema de Pappus em coordenadas polares.

O teorema de Pappus diz que a area lateral de um solido gerado pela
revolucao de uma curva em torno de um eixo eh igual a 2*Pi*y(b)*L, onde:
y(b) = distancia do baricentro da curva ateh o eixo de revolucao;
L = comprimento da curva.

Em coordenadas polares, uma circunferencia de diametro d com centro na
origem tem equacao: R = d/2.

A zona serah gerada pela revolucao, em torno do eixo polar, de um arco dessa
circunferencia limitado pelos pontos (d/2,t1) e (d/2,t2).

A distancia entre as projecoes perpendiculares desses dois pontos no eixo
polar serah: h = (d/2)*(cos(t1) - cos(t2))

Pelo teorema de Pappus: A = 2*Pi*y(b)*L

Mas, y(b)*L eh calculado de acordo com:
y(b)*L = Integral(t1..t2) y*dL.
onde:
y = (d/2)*sen(t) = distancia do ponto (d/2,t) ao eixo polar;
dL = R*dt = (d/2)*dt = elemento de arco.

Logo:
y(b)*L = 
Integral(t1..t2) (d/2)^2*sen(t)*dt =
(d/2)^2*(cos(t1) - cos(t2)) =
(d/2)*h

Portanto, A = 2*Pi*y(b)*L = 2*Pi*(d/2)*h = Pi*d*h


[]s,
Claudio.


=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================