Re: [obm-l] Matriz Inversivel

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Wed, Mar 24, 2004 at 12:30:01PM -0300, Claudio Buffara wrote:
> Oi, pessoal:
> 
> Alguem consegue dar uma demonstracao curta e elegante de que a matriz A
> (2005 x 2005) definida abaixo eh inversivel?
> 
> A eh tal que:
> A(i,i) = 1
> A(i,i+1) = -1
> A(i,i+2) = 1
> para 1 <= i <= 2005  (mod 2005)
> e
> A(i,j) = 0 em todos os outros casos.
> 
> OBS: A nao eh diagonal. O canto superior direito eh:
> 1  -1
> 0   1

Acho que ou eu não entendi o enunciado ou a obs está errada.
Pelo que entendi, a matriz seria, trocando N = 2005 por N = 12,
igual a (1 = +, -1 = -, 0 = .):

+-+.........
.+-+........
..+-+.......
...+-+......
....+-+.....
.....+-+....
......+-+...
.......+-+..
........+-+.
.........+-+
+.........+-
-+.........+

Então aquele bloquinho seria o canto superior direito de A^t.

Vamos representar um vetor (a_0,a_1,...,a_{N-1}) por
a_0 + a_1 X + ... + a_{N-1} X^{N-1}.
Vamos convencionar que X^N = 1, ou seja, vamos trabalhar em
Q^2005 = Q[X]/(X^N - 1) = Q + Q[z5] + Q[z401] + Q[z2005]
onde zk = exp(2 pi i/k).

A matriz A equivale a multiplicar por 1 - X^{-1} + X^{-2} =
X^{-2} (X - w) (X - w') onde w = z6 e w' = z6^(-1)
são raízes primitivas de ordem 6 da unidade.
Ora, como 6 e N = 2005 são primos entre si
segue que X - w e X - w' são inversíveis em (Q[X]/(X^N - 1))[w]
(pois são inversíveis em Q[w], Q[z5][w], Q[z401][w], Q[z2005][w]).

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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