Re: [obm-l] exercício elon

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Re: [obm-l] exercício elon

on 20.03.04 18:33, bruno souza at bruno9812000@yahoo.com.br wrote:

Estou escrevendo pela primeira vez. Espero futuramente poder ajudar em alguma coisa. Mas no momento estou enviando um exercício do elon que espero ser pertinente e o qual não consegui resolver sozinho: Provar que
Dados X contido em R^n, e>0. Seja B(X;e) a reunião das bolas B(x;e), com x pertencente a X. Se X é convexo então B(X;e) é Convexo.

Obrigado


Chame de A a uniao das bolas.
Se x e y pertencem a A, temos que provar que m*x + (1-m)*y pertence a A para todo m em [0,1].

Sejam x_0 e y_0 em X tais que x pertence a B(x_0,e) e y pertence a B(y_0,e).
Isso quer dizer que |x - x_0| <= e, |y - y_0| <= e.

Como X eh convexo, temos que m*x_0 + (1-m)*y_0 pertence a X para todo m em [0,1].

Mas entao, teremos:
|(m*x + (1-m)*y) - (m*x_0 + (1-m)*y_0)| =
|m*(x - x_0) + (1-m)*(y - y_0)| <=
m*|x - x_0| + (1-m)*|y - y_0| <=
m*e + (1-m)*e = e.

Logo, m*x + (1-m)*y pertence a B(m*x_0 + (1-m)*y_0,e) e, portanto, pertence a A.


[]s,
Claudio.

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