RE: [obm-l] Compacidade

["Artur Costa Steiner" <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Oi Tertuliano
Nao entendi bem o enunciado do primeiro problema. Voce quis mesmo dizer  inf
{f(x)}?

Vou tentar, por ora, resolver o segundo problema. Sejam Dx e Dy as metricas
nos espacos X e Y. O fato de f ser localmente Holder acarreta que f seja
continua em X. Como X eh compacto, temos que f(X) tambem eh. Logo, f(X) eh
limitado (totalmente limitado), e f eh limitada em X.
Admitamos que f nao seja Holder em X e fixemos algum a>0. Para todo natural
n, existem entao x_n e y_n em X tais que Dy(f(x_n), f(y_n)) >= n*Dx(x_n,
y_n)^a (do contrario, f seria Holder com parametros n e a). Afirmamos que a
sequencia de numeros reais Dx(x_n, y_n) converge para zero. Se isto nao se
verificasse, existiram s>0 e subsequencias (x_n_k) e (y_n_k) tais que
Dx(x_n_k , y_n_k) >=s para todo k. Mas isto implicaria que Dy(f(x_n_k),
f(y_n_k)) >= n_k*s^a para todo k, contrariando a conclusao anterior segundo
a qual f eh limitada em X (n_k cresce ilimitadamente com k e s^a>0).
Como X eh compacto,(x_n) contem uma subsequencia (x_n_k) que converge para
algum u de X. Temos entao que Dx(x_n_k, y_n_k), a qual eh subsequencia de
Dx(x_n, y_n), converge para zero, o que implica que (y_n_k) tambem convirja
para u. 
Dado r>0 arbitrariamente escolhido, para k suficientemente grande obtemos
x_n_k e y_n_k em B(u,r). Pelas nossa hipoteses, para tais valores de k temos
tambem que Dy(f(x_n_k), f(y_n_k)) >= n_k*Dx(x_n_, y_n_k)^a. Como n_k
torna-se arbitrariamente grande quando k tambem se torna, isto significa
que, para o parametro a que fixamos, a restricao de f a B(u,r) nao eh
Holder. Mas como r>0 e a>0 sao ambos arbitrarios, isto significa que,
contrariamente aa hipotese basica, f nao eh localmente Holder em u. Esta
contradicao prova o teorema (Assim espero! Confira bem a prova que posso ter
cometido algum erro..).

Uma saida talvez mais natural para esta prova seria, para cada x de X,
escolher uma vizinhanca de raio r_x na qual a restricao de f seja Holder. A
colecao destas vizinhancas cobre X que, por ser compacto, eh coberto por um
numero finito das mesmas. Mas embora esta saida seja mais natural, eu me
enrolei neste ponto e empaquei. Talvez vc ache uma saida mais elegante por
aqui. Quando possivel, eu prefiro provas diretas do que por contradicao, mas
neste caso naum consegui.    
 

-----Original Message-----
From: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] On
Behalf Of Tertuliano Carneiro
Sent: Friday, March 19, 2004 5:32 PM
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Compacidade

Olá para todos!
Aí vão alguns problemas, q jah estão virando pesadelo!
1) Seja f > 0 uma função real contínua definida em um espaço métrico X e tal
q inf {f(x)} > 0, para todo x em X. Mostre q X eh compacto.
2) Seja X um espaço métrico compacto e f : X em Y localmente Holder, ou
seja, dado x em X, existe B(x,r) tq f restrita a B é Holder. Mostre q se f é
localmente Holder, então f é Holder. (Y é espaço métrico)
Lembrando: f é Holder se existem a > 0 e c > 0
tq                                 d(f(x) - f(y)) <= c*d(x,y)^a, para todo x
ey em X.
3) Sejam X subconjunto do R^m, K subconjunto compacto do R^n,        f : X x
K em R^p contínua e c em R^p. Suponha q, para cada x em X, exista um único y
em K tq f(x,y) = c. Prove q esse y depende continuamente de x.
 
Grato por qualquer solução e/ou comentário.  
      
  


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