Re: [obm-l] Cálculo - Análise

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 18.03.04 23:27, Daniel Silva Braz at dsbraz@yahoo.com.br wrote:

> Alguém pode me ajudar nessas...??
> 
> 1) Recall that cos x = 1 - (1/2)x^2 + o(x^3) as x ->
> 0.
> Use to prove that x^-2(1 - cos x) -> 1/2 as x -> 0.
> In a similar way, find the limit of x^4(1 - cos2x -
> 2x^2) as x -> 0
> 
Se cos(x) = 1 - x^2/2 + o(x^3), entao (1 - cos(x))/x^2 = o(x^3)/x^2.
Mas quando x -> 0, o(x^3)/x^2 -> 0.

O outro eh analogo, com um pouquinho mais de contas.


> 2) The two equations (e^u cos v) = x and (e^u sin v) =
> y define u and v as functions of x and y, say u =
> U(x,y) and v = V(x,y). Find explicit formulas for
> U(x,y) and V(x,y), valid for x > 0, and show that the
> gradiend vector U(x,y) and V(x,y) are perpendicular at
> each point (x,y)
>
Usando complexos, teremos:
x + i*y = e^u*cos(v) + i*e^(u)*sen(v) = e^u*cis(v).

Logo, e^u = |x + i*y| = raiz(x^2 + y^2) ==> u = (1/2)*ln(x^2 + y^2).
Da mesma forma, voce acha que v = arctg(y/x).

dU/dx = x/(x^2 + y^2)
dU/dy = y/(x^2 + y^2)

dV/dx = (-y/x^2)/(1 + y^2/x^2) = -y/(x^2 = y^2)
dV/dy = (1/x)/(1 + y^2/x^2) = x/(x^2+y^2).

Calculando o produto escalar de grad(U) e grad(V), vemos eles sao
perpendiculares.
 
> 3) Find the maximum and minimum distances from the
> origin to curve 5x^2 + 6xy + 5y^2 = 8
>
Essa eh a equacao de uma elipse centrada na origem, soh que os seus eixos
nao coincidem com os eixos coordenados. Assim, eh soh voce rodar o sistema
de coordenadas e colocar a equacao da elipse na forma padrao (em relacao aos
novos eixos). As distancias minima e maxima serao os comprimentos dos
semi-eixos menor e maior, respectivamente.


[]s,
Claudio.
 


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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