[obm-l] Polinomios e bijecoes em Z_p

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Oi, pessoal:

Preciso de ajuda com o problema de se determinar quando um polinomio de
coeficientes inteiros eh uma bijecao em Z_p (Z_p: corpo dos inteiros mod p)

Eu sei que podemos nos restringir a polinomios f(x) monicos de grau <= p-1,
pois se grau(f(x)) >= p, basta tomar o resto da divisao de f(x) por x^p - x
e se f(x) nao for monico, basta multiplica-lo pelo inverso do coeficiente
lider.

Baseado no fato de que nenhum polinomio de grau 2 eh uma bijecao, eu
inicialmente pensei que um tal f(x) teria que ser da forma ax + b, onde a eh
primo com p. 

Mas dai, descobri que f(x) = x^3 eh uma bijecao em Z_5 e, mais geralmente,
f(x) = x^(p-2) eh uma bijecao em Z_p, pois:
f(0) = 0 e se a <> 0, entao a^(p-1) = 1 ==> a^(p-2) = a^(-1) e o inverso de
um elemento inversivel de qualquer corpo eh unico.

Isso implica, mais geralmente, que f(x) = (ax + b)^(p-2) com (a,p) = 1 eh
uma bijecao em Z_p.

Mais geralmente ainda, se n for primo com p-1, entao f(x) = (ax + b)^n eh
uma bijecao pois nesse caso existirao inteiros r, s tais que r*n + s*(p-1) =
1, e dai, em Z_p: 
x = x^1 = x^(r*n + s*(p-1)) = (x^n)^r * (x^(p-1))^s = (x^n)^r.
Logo, a^n = b^n ==> a = (a^n)^r = (b^n)^r = b ==> x^n eh injetiva ==>
x^n eh sobrejetiva, pois Z_p eh finito ==> x^n eh uma bijecao ==>
f(x) = (ax + b)^n eh uma bijecao

Minha pergunta: alem de f(x) = (ax + b)^n, com (a,p) = 1 e (n,p-1) = 1,
existem outros polinomios que sao bijecoes em Z_p?


[]s,
Claudio.








 

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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