[obm-l] Obtendo limitantes com a Desigualdade de Chebychev e Markov

[Carlos Maçaranduba <soh_lamento@xxxxxxxxxxxx>]

Nao estou conseguindo um limitantes superiores para os
2 problemas:

Convençao:
P() ->Probabilidade
X ->Variavel Aleatoria  associado a um espaço amostral
E(X) ->Esperança ou Media
V(x) ->Variancia = Desvio Padrao ao quadrado
e ->numero Real positivo
v ->numero Real positivo
<= ->Menor ou Igual
>= ->Maior ou igual 
> ->Maior
< ->Menor

-Problema 1:
Desigualdade de Chebychev:
P( |X - E(X)| >= e ) <= V(x) / (e^2)

O problema:
Use a desigualdade para estimar uma cota superior para
a probabilidade de que uma variavel aleatoria tendo
media M e desvio padrao P, se desvie de M por menos
que 3P.

Entao acho que o problema quer isso:
P(|X - M| < 3P)

Modificando um pouco a desigualdade:
P( |X - E(X)| >= e ) <= V(x) / (e^2)
=>1 - P( |X - E(X)| >= e ) >= 1 - V(x) / (e^2)
=> P( |X - E(X)| < e ) >= 1 - V(x) / (e^2)

Fazendo-se e = 3P, E(X)= M  e  V(x) = P^2 temos:
=>P( |X - M| < 3P ) >= 1 - P^2 / 9(P^2)
=> P( |X - M| < 3P ) >= 1 - 1/9
=> P( |X - M| < 3P ) >= 8/9

Mas 8/9 seria uma cota inferior e o problema quer uma
cota superior(por se tratar de probabilidades,é logico
que uma cota superior seria 1 e uma inferior seria
0,mas essas nao valem).Mas a unica forma que eu
encontrei de encaixar |X - M| < 3P na desigualdade foi
essa.O que eu faço?????

-Problema 2:
Desigualdade de Markov: P(X >= v) <= E(x) / v
Seja E(X) = M, X <= 2M.De um limitante superior para 
P(X <= M/2).

Quando eu tento adaptar , consigo um limitante
inferior, mas nao superior, similar ao problema 1.




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