O que você acha disso aqui?
Inicialmente associe sub-intervalos sucessivos de [0,1] a subdivisões do quadrado em quadrados menores mas iguais entre si, da seguinte forma:
I_1 = [0,1/2] --> 4 quadrados de lado = 1/2
I_2 = [1/2,3/4] --> 16 quadrados de lado = 1/4
I_3 = [3/4,7/8] --> 64 quadrados de lado = 1/8
...
I_n = [ 1 - 1/2^(n-1) , 1 - 1/2^n ] --> 4^n quadrados de lado 1/2^n
...
Como o Roi Corroi pode se mover a qualquer velocidade, vai ser sempre possivel que, durante o intervalo de tempo I_n, ele percorra uma curva continua que passe por cada um dos 4^n quadrados correspondentes a I_n. Eh claro que a velocidade dele será cada vez maior.
Por exemplo, vamos chamar os 4^n quadrados da n-esima subdivisao de:
Q(i,j) (1<=i,j <=2^n), com Q(1,1) sendo o quadrado situado no canto superior esquerdo do quadrado original, Q(1,2^n) o do canto superior direito e Q(2^n,2^n) o do canto inferior direito. No inicio de I_n, ele se desloca muito rapidamente para o centro de Q(1,1), desce na vertical, passando pelos centros dos Q(i,1) (1<=i<=2^n), vai para o centro de Q(2^n,2), sobe até o centro de Q(1,2), vai para o centro de Q(1,3), desce...etc...e vai fazendo esse zig-zag até chegar ao centro de Q(1,2^n) (por que Q(1,2^n) e não Q(2^n,2^n)?) no instante t = 1-1/2^n.
É importante frisar que a curva percorrida pelo Roi Corroi é contínua (apesar de sua velocidade tender a +infinito) e que, durante cada I_n, ele percorre uma distancia finita num tempo finito.
No entanto, como o Porco se move com v = 1, durante cada intervalo I_n (que tem duracao de 1/2^n) ele percorre uma distancia de 1/2^n, ou seja, durante esse intervalo ele passa por no máximo 2 quadrados adjacentes.
Isso significa que, em algum momento de I_n, o Roi Corroi passou a uma distancia de não mais do que raiz(2)/2^(n+1) do Porco (caso em que o Roi Corroi passava pelo centro de um dado quadrado no exato instante em que o Porco estava num dos vertices desse quadrado).
Ou seja, em cada intervalo I_n, existe um instante t_n tal que a distancia d_n entre os dois eh de, no maximo, raiz(2)/2^(n+1).
Se, para algum n, d_n = 0, então acabou: o Roi Corroi terá pego o Porco em t = t_n.
Caso contrário, teremos obtido uma sequencia bi-dimensional (t_n,d_n) tal que t_n é monotona crescente e tal que 1 - 1/2^(n-1) <= t_n <= 1 - 1/2^n, e d_n é tal que, para todo n, 0 < d_n <= raiz(2)/2^(n+1). Logo, t_n tende a 1 e d_n tende a 0.
Ou seja, no pior caso, o Roi Corroi pega o Porco em t = 1.
Um abraço,
Claudio.
| De: |
owner-obm-l@mat.puc-rio.br |
| Para: |
obm-l@mat.puc-rio.br |
| Data: |
Wed, 10 Mar 2004 13:55:16 -0300 (ART) |
| Assunto: |
[obm-l] Um problema da OIMU |
> Olha so esse problema.Alguem sabe como fazer?
>
>
7. [9 pontos] Em um plano se move de qualquer maneira um ponto ( o Presuntinho) com velocidade não superior a 1 km/h, descrevendo uma curva contínua l:[0,1]=>R^2 onde [0,1] é um intervalo de tempo de um hora. Sabe-se que o Presuntinho se encontra inicialmente em um quadrado de lado de 8 km. No centro deste quadrado se encontra um demônio da Tasmânia, o Roi Corroi, cego que não pode saber a posição do porquinho, porém pode mover-se com qualquer velocidade. Encontrar um curva contínua x:[0,1]=>R^2 ( o caminho percorrido pelo demônio da Tasmânia) tal que em algum momento de tempo entre 0 e 1 o demônio da Tasmânia pega o porco independente do caminho que este último escolha.
Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil.
Abra sua c! onta agora!