Re: [obm-l] arccos((raiz(5)-1)/2) (e mais irracionais!!!)

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 07.03.04 09:38, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet at
peterdirichlet2002@yahoo.com.br wrote:

> SO PARA ESCREVER MESMO...Achei esse problema
> superdivertido!!!!!!E bem legal usar polinomios
> para determinar irracionais e coisas do genero...
> Agora, para aproveitar o pique, duas perguntas,
> uma delas eu sei a resposta, a segunda nao:
> 1)k^1!+k^2!+k^3!+k^4!+... com 2*k=1 e
> transcedente;
Este eh o exemplo classico de numero de Liouville e, se nao me engano, foi o
primeiro exemplo explicito de numero transcendente.

> 2)log k/log 10 ou e racional ou e transcedente;
Suponhamos que k seja um inteiro que nao eh potencia de 10 (se k = 10^n
entao log(k)/log(10) = n = inteiro).

Nesse caso, acho que isso eh consequencia do teorema do item (3) abaixo.
a = log(k)/log(10) <==> 10^a = k
Eh facil ver que a nao pode ser racional (use o teorema fundamental da
aritmetica).
Se a for algebrico (e irracional), entao, como 10 eh algebrico, k = 10^a
serah transcendente. Logo, nao poderah ser inteiro.

> 3)Onde acho a demonstraçao de que a^b e
> transcedente se a e algebrico e b e um algebrico
> nao-inteiro?
Isso nao eh verdade. Tome a = 4 e b = 1/2.
Imagino que voce se refira ao teorema de Gelfond-Schneider:
Se a e b sao algebricos com a <> 0, a <> 1 e b irracional, entao a^b eh
transcendente.
Uma demonstracao encontra-se aqui:
http://www.math.sc.edu/~filaseta/gradcourses/Math785/main785.html

Um abraco,
Claudio.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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