Re: [obm-l] A^2 = I na obm-u de 2003 (algumas duvidas)

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <peterdirichlet2002@xxxxxxxxxxxx>]

Sao so umas duvidas mesmo...E como posso arranjar
material para treinar essas coisas na OBM
universitaria?

 --- Claudio Buffara
<claudio.buffara@terra.com.br> escreveu: > Oi,
Nicolau:
> 
> Na sua solucao do problema de se determinar o
> numero de matrizes A de
> GL(4,p) com A^2 = I, voce usou o fato de que
> (Z_p)^4 pode ser decomposto
> numa soma direta U + V com U = {u | Au = u} e V
> = {v | Av = -v}.
 O que seria essa soma direta e por que ela
funciona nesse caso?

> Seguindo nessa linha, eu pensei no seguinte:
> 
> Em virtude dessa decomposicao, cada A serah
> semelhante (conjugada) a
> exatamente uma dentre cinco matrizes diagonais,
> cada uma com k = 0, 1, 2, 3
> ou 4 elementos iguais a 1 e os demais -1 (ou,
> mais precisamente, p-1).
O que seria isso, conjugada? E o porque disso dar
certo?

> 
> As matrizes serao:
> k = 0: diag(-1,-1,-1,1) = -I
> k = 1: diag(-1,-1,-1,1)
> k = 2: diag(-1,-1,1,1)
> k = 3: diag(-1,1,1,1)
> k = 4: diag(1,1,1,1) = I.
> 
> Agora, minha ideia eh calcular o numero de
> elementos nas classes de
> conjugacao de cada uma dessas matrizes.
> 
> k = 0 ==> A = -I ==> 1 elemento
> k = 4 ==> A = I ==> 1 elemento
> 
> Nos demais casos, eu vou usar o fato de que o
> numero de elementos na classe
> de conjugacao de uma matriz D eh igual ao
> indice do centralizador de D em
> GL(4,p), ou seja, igual a |GL(4,p)|/|C(D)|.
> 
> |GL(4,p)| = (p^4 - 1)(p^4 - p)(p^4 - p^2)(p^4 -
> p^3).
> 
O que seria esse indice do centralizador e como
voce fez essa conta do |GL(4,p)|?

> k = 1 ==> diag(D) = (-1,-1,-1,1)
> Se XD = DX, entao X terah a ultima linha e a
> ultima coluna nulas, exceto
> pelo elemento X(4,4), que deve ser <> 0, pois X
> eh nao-singular.
> Assim, o numero de tais X serah:
> |C(D)| = (p-1)*|GL(3,p)| =
> (p-1)(p^3-1)(p^3-p)(p^3-p^2) ==>
> [GL(4,p):C(D)] = p^3*(p^3 + p^2 + p + 1)
> 
> k = 2 ==> diag(D) = (-1,-1,1,1)
> Se XD = DX, entao X terah os dois blocos 2x2
> fora da diagonal principal
> nulos (ou seja, X(1,3) = X(1,4) = X(2,3) =
> X(2,4) = X(3,1) = X(3,2) = X(4,1)
> = X(4,2) = 0). Portanto:
> |C(D)| = |GL(2,p)|^2 = (p^2-1)^2*(p^2-p)^2 ==>
> [GL(4,p):C(D)] = p^4*(p^2+1)*(p^2+p+1)
> 
> k = 3 ==> diag(D) = (-1,1,1,1)
> Esse caso eh analogo ao de k = 1. Logo:
> |C(D)| = (p-1)(p^3-1)(p^3-p)(p^3-p^2) ==>
> [GL(4,p):C(D)] = p^3*(p^3 + p^2 + p + 1)
> 
> Logo, o numero total e matrizes A eh igual a:
> 1 + 1 + 2*p^3*(p^3+p^2+p+1) +
> p^4*(p^2+1)*(p^2+p+1) =
> p^8 + p^7 + 4*p^6 + 3*p^5 + 3*p^4 + 2*p^3 + 2
> 

Agora de onde vem essas contas, daquela definiçao
de semelhante com PXP^(-1)=Y?
> 
> Ta certo isso?
> 
> Um abraco,
> Claudio.
> 
> 
> 
> 
>    
> 
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista
> e usar a lista em
>
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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