Re: [obm-l] Topologia

[ronaldogandhi@xxxxxxxxx]

>> 2) Seja = a seguinte a rela�ao entre pontos de um espa�o topol�gico X: 
x=y 
>> sse nao existe nenhuma cisao {A,B} de X com x em A e y em B. Mostre q = 
eh 
>> uma rela�ao de equivalencia sobre X. As classes de equivalencia sao as 
>> pseudocomponentes de X. Mostre q elas sao fechadas e q cada uma eh uma 
>uniao 
>> de componentes conexas de X. 

Vai aqui um esbo�o, para algu�m melhorarar: 

   Mostrar que � rel. de equival. : 
  i) Reflexiva (x,x) em R ==> 
    basta tomar A = {x} e B = A-{x} 

  ii) Sim�trica: (x,y) em R ==> 
  Existe x pert A e y pert B e {A,B} cis�o de X logo 
   y pert B e x pert A e {B,A} � cis�o de X logo 
    (y,x) em R. 

  ii) Transitiva: (x,y) em R e (y,z) em R ==> 
      x pert A, y pert B, A e B separam x e  y,  X = A U B 
      y pert B, z pert C, B e C separam y e z, X = B U C 
    ==>   X = (A U B) U (B U C), x pert (A U B) pois x pert A. 
      z pert a (B U C) pois z pert a C 
     ==> logo (A U B) e (B U C) separam x e z ==> 
      (x,z) em R. 


  No caso (i), A ={x} � fechado ==> o complementar de x, 
  A - {x} � aberto.  Mas A � aberto e fechado logo A - {x} 
 � fechado (t� certo isso ?). 
  Como o espa�o todo � conexo e {x} � conexo A - {x} � conexo. 

  No caso (ii) podemos tomar x pert A e y pert B. 
   Se A � aberto ent�o A' � fechado e podemos tomar B = X - A 
  = A' e neste caso como X � conexo A' B - A � conexo.  Se 
  A tiver mais de um ponto e n�o for aberto podemos tomar 
  A como tendo um �nico ponto, i.e., A = {x} 

  O caso (iii) d� pra mostrar da mesma forma que o caso (ii). 



>> 
>> 3) Seja X um subespa�o de RxR formado pela uniao dos pontos (0,0), (0,1) 
e 
>os 
>> segmentos {1/n}x[0,1] (n = 1,2,...). Encontre as pseudocomponenets de X. 
> 
>A coisa surpreendente aqui � que (0,0) e (0,1) est�o na mesma 
>pseudocomponente, ali�s formam uma pseudocomponente, apesar de n�o 

 Desculpe minha ignor�ncia. 
  O que � pseudocomponente?? 



>estarem em uma mesma componente conexa. 
> 
>[]s, N. 
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>Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html 
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