Re: [obm-l] Sistema exponencial

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

Acho que podemos usar o Teorema da Funcao Implicita. 
Definamos f(x,y)= x^y e g(x,y) = y^x. f e g tem
derivadas parciais continuas em {(x,y) | x>0, y>0}. Se
J eh o Jacobiano do sistema avaliado em x=u e y=v,
entao J = [determinante [y*(x^(y-1)) ,x^y * ln(x) ;
y^x * ln(y) , x*(y^(x-1))]|(u,v) = [x^y * y^x *(1 -
ln(x) * ln(y))]|(u,v) = u^v * v*u * (1 - ln(u) *
ln(v)). Se J nao se anular em (u,v), podemos entao
afirmar com base no T. da Funcao Implicita que x e y
podem ser explicitados em funcao de u e de v. 
Eh facil que ver que, se ln(u) * ln(v) <>1, entao J <>
0 e o sistema f(x,y) = u e g(x,y) = v tem solucao. 
No seu caso, temos u =a e v =a+1, par a>0. Logo
podemos afirmar que teremos solucao sempre que ln(a) *
ln(a+1) <>1. Se definirmos h(a) = ln(a) *
ln(a+1,)vemos que h eh continua para a>0 e eh negativa
em (0,1)Deste forma, neste intervalo h(a) =1 nao se
verifica. Em a=1 h se anula e para a>1 eh facil ver
que h eh estritamente crescente e positiva. Logo,
existe um e apenas um valor de a, digamos a0,
necessariamente positivo, para o qual  h(a0) =1. Eh
tambem facil de ver que a0 <e . Neste valor, nao
podemos garantir, com base no T. da F. Implicita, que
seu sistema tem solucao. Mas para todos os outros
valores de a>0 ele tem.  Entretanto, trabalhando com
um computador, verfiquei que a0 =~  2,3072. E
resolvendo seu sistema numericamente vi que ele tem
solucao pra este valor a0 (O T. da F. Implicita eh
"se", mas nao "somente se"). Disto concluimos que seu
sistema tem solucao para todo a>0. Se a<> a0, podemos
afirmar que tem solucao unica.  Agora, achar uma
expressao bonitinha e fechada de x e de y em funcao de
a nao parece muito facil

Artur
P.S. Eu no momentomnao estou lembrado de todos os
detalhes do T. da F. Implicita, mas acho que eh isto. 
 
--- Márcio Pinheiro <profmarpin@hotmail.com> wrote:
> Olá, pessoal.
> Gostaria de ajuda na seguinte questão:
> Encontrar os valores de x e de y, para os quais
> x^y=a e y^x = a+1. Discutir 
> as soluções para os possíveis valores de a.
> Desde já, agradeço.
> Márcio.
> 
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