Re: [obm-l] RE: [obm-l] Números inteiros e probabilidade

[Carlos Maçaranduba <soh_lamento@xxxxxxxxxxxx>]

O que é a funçao Zeta de Riemann e que zeros nao
triviais sao esses??

 --- Paulo Santa Rita <p_ssr@hotmail.com> escreveu: >
Ola "Rafael" e demais
> colegas desta lista ... OBM-L,
> 
> Se P1 e um numero  primo, para cada P1 numeros na
> sequencia 1, 2, ..., N, 
> ... havera um numero
> divisivel  por P1, isto e, havera um numero que tem
> P1 como fator primo. 
> Vale dizer que entre os
> numeros naturais, ao escolhermos um ao acaso, a
> probabilidade de que ele 
> tenha P1 como fator
> primo e 1/P1 ....
> 
> Supondo ( o que e razoavel ) que as escolhas sao
> eventos independentes, 
> entao a probabilidade de
> que os tres numeros escolhidos tenham P1 por fator
> primo e :
> 
> (1/P1)*(1/P1)*(1/P1) = 1/(P1^3)
> 
> O que nos interssa e justamente o contrario, isto e,
> queremos que os tres 
> nao tenham o fator
> primo P1 em comum. Portanto, a probabilidade e :
> 
> 1 - [1/(P1^3)]
> 
> Devemos repetir este raciocinio para todos os
> numeros primos. A  
> probabilidade que procuramos sera
> portanto :
> 
> R = {1 - [1/(2^3)]}*{1 - [1/(3^3)]}*{1 -
> [1/(5^3)]}*...*{1 - [1/(P^3)]}*...
> R = 
>
{[(2^3)-1]/(2^3)]}*{[(3^3)-1]/(3^3)]}*{[(5^3)-1]/(5^3)]}*...*{[(P^3)-1]/(P^3)]}*...
> 1/R 
>
={(2^3)/[(2^3)-1]}*{(3^3)/[(3^3)-1]}*{(5^3)/[(5^3)-1]}*...*{(P^3)/[(P^3)-1]}*...
> 1/R 
>
={1/[1-(2^(-3))]}*{1/[1-(3^(-3))]}*{1/[1-(5^(-3))]}*...*{1/[1-(P^(-3))]}*...
> 
> Observe que cada fator e da forma :
> 
> {1/[1-(P^(-3))]}= 1 + (1/P)^3 + (1/P)^6 + (1/P)^9 +
> ... + (1/P)^(3*N) + ...
> 
> Olhando com tranquilidade, se convenca de que para
> qualquer natural N, o 
> valor de 1/R contem
> 1/(N^3), isto e :
> 
> 1/R = 1 + (1/2)^3 + (1/3)^3 + (1/4)^3 + ... +
> (1/N)^3 + ...
> 
> Esta serie e evidentemente convergente. Todavia, se
> voce propor o problema 
> de se determinar
> o seu valor, muito provavelmente, nenhum matematico
> do mundo sabera 
> responder. Euler e Gauss
> se ocuparam dela, sem sucesso. O "valor simbolico" e
>  ZETA(3), onde ZETA e a 
> famoso funcao
> de Riemann sobre a qual  ninguem sabe  provar se
> todos os seus zeros 
> nao-triviais tem realmete
> parte real igual a 1/2.
> 
> Portanto :
> 
> 1/R = ZETA(3) => R = 1/ZETA(3)
> 
> Observe que se fossem escolhidos 2 numeros, teriamos
> R=1/ZETA(2)=6/(pi^2). 
> Esta e tambem
> a probabilidade de se escolher um numero natural de
> forma que ele nao tenha 
> fator primo duplicado
> ( alguem ja provou isso aqui nesta lista ). Dai eu
> concluo que para N 
> numeros bastaria saber a
> probabilidade do numero nao ter fator primo elevado
> a N.
> 
> Um Abraco
> Paulo Santa Rita
> 1,2154,010304
> 
> 
> 
> 
> 
> >From: "Rafael" <cyberhelp@bol.com.br>
> >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >To: "OBM-L" <obm-l@mat.puc-rio.br>
> >Subject: [obm-l] Números inteiros e probabilidade
> >Date: Sat, 28 Feb 2004 18:51:31 -0300
> >
> >Boa noite, pessoal.
> >
> >Por esses dias, deparei-me com o seguinte problema:
> >
> >"Sejam três inteiros escolhidos ao acaso, a
> probabilidade de que não haja
> >fator comum que os divida é...?"
> >
> >Não imagino como isso poderia ser calculado. Alguém
> tem alguma idéia?
> >
> >
> >Obrigado,
> >
> >Rafael de A. Sampaio
> >
> 
>
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