[obm-l] Fwd: Divisibilidade ( Reply: Criterio de Divisibilidade) )

["Alexandre Augusto da Rocha" <arocha@xxxxxxxxxxxxxxxx>]

To forwarding pq nao achei link nos arquivos.

Enquanto procurava achei essa aki que tb trata do assunto
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200103/msg00101.html


----- Original Message -----
From: "Fábio "ctg \pi" Dias Moreira" <fabio.dias.moreira@terra.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Friday, June 27, 2003 12:04 PM
Subject: Re: [obm-l] Divisibilidade


> -----BEGIN PGP SIGNED MESSAGE-----
> Hash: SHA1
>
> Em Sex 27 Jun 2003 01:32, Denisson escreveu:
> > Alguém poderia demonstrar como se chegou aos critérios de divisibilidade?
> > Em especial aos mais dificeis como o critério do 17. Não peço uma
> > demonstração matemática formal, peço algum argumento lógico.
> > [...]
>
> Suponha que você quer o critério de divisibilidade por um primo m, inspirado
> na idéia de arrancar o úmtimo dígito do número. Suponha que n = 10a + b.
> Suponha que após arrancarmos o último dígito, ele seja multiplicado por c.
> Então o novo n, n', é a - bc. Se descobrirmos constantes x, y e z tais que
>
> xn + yn' = mp (*)
>
> onde p é uma função de a, b e c, e nem x nem y são múltiplos de m, então temos
> um critério de divisibilidade para m (se um dos termos do lado esquerdo for
> múltiplo de m, o outro também deve ser).
>
> Exemplo: Seja m = 7. Então a equação (*) se escreve como
>
> x(10a + b) + y(a - bc) = 7p
>
> a(10x + y) + b(x - yc) = 7p
>
> Basta encontar x, y e c tais que tanto 10x + y quanto x - yc sejam múltiplos
> de 7. Mas então 10x + y - 10*(x - yc) = y(1 + 10c) é múltiplo de 7. Mas y não
> é múltiplo de 7, logo 1 + 10c é múltiplo de 7. Um c pequeno que satisfaz isso
> é c = 2. Logo 10x + y e x - 2y são múltiplos de 7. Não é muito difícil achar
> um par que satisafaça isso (x=1 e y=4, por exemplo). Logo o critério de
> divisibilidade por 7 é arrancar o último dígito e subtrair o seu dobro do
> número restante.
>
> Note que a escolha de x e y não importa. De fato, 10x + y = 0 e x - 2y = 0 são
> expressões equivalentes módulo 7, logo tomar y = 1 e x qualquer funciona.
>
> Mas agora olhe para o problema no caso geral novamente. A equação (*)
> significa
>
> a(10x + y) + b(x - yc) = mp
>
> logo basta encontrar x, y, c tais que (10x + y) e (x - yc) sejam múltiplos de
> m, o que implica que 10x + y - 10*(x - yc) = y(1 + 10c) é múltiplo de m, o
> que implica que 1 + 10c é múltiplo de m. Armado de tal c, basta achar x e y
> tais que 10x + y e x - yc seja múltiplos de m. Mas x = c, y = 1 é uma solução
> automática.
>
> Logo todo o problema se resume a achar tal c. Mas os múltiplos de m da forma
> 10c + 1:
>
> i) ou são positivos e terminam em 1
> ii) ou são negativos e terminam em 9.
>
> Logo, para descobrir um valor de c, basta listar os múltiplos de m até
> encontar o primeiro múltiplo que termine em 1 ou 9. Se ele for da forma xyz1,
> c = xyz. Se for da forma xyz9, c = -xyz - 1 (muito cuidado: um c negativo
> significa subtrair um múltiplo negativo do último dígito, i.e. você está
> *somando* um múltiplo do último dígito).
>
> Exemplo: m = 13. Quais são os múltiplos de 13?
>
> 13, 26, *39*, 52, ...
>
> Logo c = -3-1 = -4. Logo a regra de divisibilidade é arrancar o último dígito
> e somá-lo, multiplicado por 4, ao número restante.
>
> (Tente isso com 13*246346356 = 3202502628)
>
> Exemplo: m = 17. Quais são os múltiplos de 17?
>
> 17, 34, *51*, ...
>
> Logo c = 5. Logo a regra de divisibilidade é arrancar o último dígito e
> subtraí-lo, multiplicado por 5, do número restante.
>
> (Tente isso com 17*7612058 = 129404986)
>
> Isso tem uma conseqüência legal: Achar a regra de divisibilidade por um primo
> m qualquer terminado em 1 ou 9 (i.e. 11, 31, 41, ..., 19, 29, 59, ...) é
> trivial.
>
> []s,
>
> - --
> Fábio "ctg \pi" Dias Moreira
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> Version: GnuPG v1.0.6 (GNU/Linux)
> Comment: For info see http://www.gnupg.org
>
> iD8DBQE+/HknalOQFrvzGQoRArKdAJ92brzRRBv1H6GBEQcmrttmOTKp+ACgoyh2
> OXzZ5WKFDns2rqQWRpB9ugM=
> =n1iC
> -----END PGP SIGNATURE-----
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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