----- Original Message -----
Sent: Thursday, January 29, 2004 11:09
PM
Subject: [obm-l]
arccos((raiz(5)-1)/2)
Bom gente, eu mandei esse
problema pra lista, acompanhei os emails do Arthur, do Cláudio e do Nicolau
sobre ele, inclusive chegando a solucao final. Legal. Segue abaixo uma outra
solucao, bastante interessante, para o problema. (o fanático por
polinomios de chebyshev da lista vai adorar :) ).
A ideia eh que se x = arccos((raiz(5)-1)/2) fosse
multiplo racional de Pi, entao haveria um inteiro n tal que cos(nx) = 0,
e portanto cos(x) seria raiz de uma equacao de coeficientes INTEIROS t^n
+ ...t^n-1 +... = 0 (polinomio de chebyshev). Mas por um lado todas as
raizes desse polinomio estao em [-1,1] (afinal, temos cos(nx) = t^n +
... e isso vale zero para nx(k) = pi/2 + kpi, k = 0, 1, 2, 3, ...,
n-1, o que ja lista todas as raizes do polinomio como sendo cos x(k) para
algum k), e por outro lado o
conjugado de cosx, (raiz(5)+1)/2 > 1
tambem deveria ser raiz dela... Legal né?
Abracos,
Marcio
Cohen.