[obm-l] RE: [obm-l] Números inteiros e probabilidade

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola "Rafael" e demais
colegas desta lista ... OBM-L,

Se P1 e um numero  primo, para cada P1 numeros na sequencia 1, 2, ..., N, 
... havera um numero
divisivel  por P1, isto e, havera um numero que tem P1 como fator primo. 
Vale dizer que entre os
numeros naturais, ao escolhermos um ao acaso, a probabilidade de que ele 
tenha P1 como fator
primo e 1/P1 ....

Supondo ( o que e razoavel ) que as escolhas sao eventos independentes, 
entao a probabilidade de
que os tres numeros escolhidos tenham P1 por fator primo e :

(1/P1)*(1/P1)*(1/P1) = 1/(P1^3)

O que nos interssa e justamente o contrario, isto e, queremos que os tres 
nao tenham o fator
primo P1 em comum. Portanto, a probabilidade e :

1 - [1/(P1^3)]

Devemos repetir este raciocinio para todos os numeros primos. A  
probabilidade que procuramos sera
portanto :

R = {1 - [1/(2^3)]}*{1 - [1/(3^3)]}*{1 - [1/(5^3)]}*...*{1 - [1/(P^3)]}*...
R = 
{[(2^3)-1]/(2^3)]}*{[(3^3)-1]/(3^3)]}*{[(5^3)-1]/(5^3)]}*...*{[(P^3)-1]/(P^3)]}*...
1/R 
={(2^3)/[(2^3)-1]}*{(3^3)/[(3^3)-1]}*{(5^3)/[(5^3)-1]}*...*{(P^3)/[(P^3)-1]}*...
1/R 
={1/[1-(2^(-3))]}*{1/[1-(3^(-3))]}*{1/[1-(5^(-3))]}*...*{1/[1-(P^(-3))]}*...

Observe que cada fator e da forma :

{1/[1-(P^(-3))]}= 1 + (1/P)^3 + (1/P)^6 + (1/P)^9 + ... + (1/P)^(3*N) + ...

Olhando com tranquilidade, se convenca de que para qualquer natural N, o 
valor de 1/R contem
1/(N^3), isto e :

1/R = 1 + (1/2)^3 + (1/3)^3 + (1/4)^3 + ... + (1/N)^3 + ...

Esta serie e evidentemente convergente. Todavia, se voce propor o problema 
de se determinar
o seu valor, muito provavelmente, nenhum matematico do mundo sabera 
responder. Euler e Gauss
se ocuparam dela, sem sucesso. O "valor simbolico" e  ZETA(3), onde ZETA e a 
famoso funcao
de Riemann sobre a qual  ninguem sabe  provar se todos os seus zeros 
nao-triviais tem realmete
parte real igual a 1/2.

Portanto :

1/R = ZETA(3) => R = 1/ZETA(3)

Observe que se fossem escolhidos 2 numeros, teriamos R=1/ZETA(2)=6/(pi^2). 
Esta e tambem
a probabilidade de se escolher um numero natural de forma que ele nao tenha 
fator primo duplicado
( alguem ja provou isso aqui nesta lista ). Dai eu concluo que para N 
numeros bastaria saber a
probabilidade do numero nao ter fator primo elevado a N.

Um Abraco
Paulo Santa Rita
1,2154,010304





>From: "Rafael" <cyberhelp@bol.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: "OBM-L" <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: [obm-l] Números inteiros e probabilidade
>Date: Sat, 28 Feb 2004 18:51:31 -0300
>
>Boa noite, pessoal.
>
>Por esses dias, deparei-me com o seguinte problema:
>
>"Sejam três inteiros escolhidos ao acaso, a probabilidade de que não haja
>fator comum que os divida é...?"
>
>Não imagino como isso poderia ser calculado. Alguém tem alguma idéia?
>
>
>Obrigado,
>
>Rafael de A. Sampaio
>

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