Re: [obm-l] duvida sobre matrizes para o nicolau e outros

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Sat, Feb 28, 2004 at 11:47:25AM -0300, Regina Helena Alonso wrote:
> Vamos lá: Como provar sem usar o conceito de matriz inversa e nem
> determinante, mas somente multiplicação de matrizes e suas propriedades,  a
> propriedade abaixo:
>  
> Se A e B são matrizes de quadradas reais de mesma ordem e AB = I (matriz
> Identidade), então BA = I .

Não tenho certeza se é possível fazer o que você quer.
Esta propriedade depende dos espaços vetoriais envolvidos terem
dimensão finita: se V é um espaço vetorial de dimensão infinita
então não é difícil encontrar transformações lineares A e B de V em V
com AB = I mas BA diferente de I. Se V = R^infinito, o espaço vetorial das
seqüências infinitas de reais, podemos tomar
A(x0, x1, x2, x3, ... ) = (x1, x2, x3, x4, ... )
B(x0, x1, x2, x3, ... ) = (0, x0, x1, x2, ... )
então 
AB(x0, x1, x2, x3, ... ) = (x0, x1, x2, x3, ... )
BA(x0, x1, x2, x3, ... ) = (0, x1, x2, x3, ...)
Um exemplo relacionado é se tomarmos V = R[x], o espaço dos polinômios
com coeficientes reais na variável x, A(p) = (p - p(0))/x, B(p) = xp.
Assim de alguma maneira a hipótese de que a dimensão é finita precisa
aparecer: isto pode envolver o conceito de dimensão, de posto
ou pode envolver o determinante como você sugeriu.

Vamos tentar demonstrar que BA = I e ver exatamente o que precisamos.
Escreva BA = X. Temos A(X-I) = A(BA) - A = (AB)A - A = A - A = 0.
Analogamente (X-I)B = B. Assim se X não for igual a I, deduzimos
que existem vetores não nulos v e w tais que Av = 0 e w^t B = 0.
Por outro lado, como AB = I temos A(Bu) = u para todo u:
assim A é sobrejetora mas não é injetora e B é injetora mas não é
sobrejetora (como transformações lineares).
Podemos considerar V0 = R^n, V1 a imagem de B, ..., Vk a imagem de B^k, ....
Já vimos que B é uma bijeção entre V0 e V1 e que V1 é um subespaço
próprio de V0: V2, a imagem de V1 por B, deve estar propriamente contido
em V1. Assim temos uma seqüência infinita de subespaços encaixados 
uns nos outros.

Bem, acho que vou parar aqui, não vou escrever um livro inteiro de
álgebra linear. O que eu fiz talvez convença você que esta conversa
pede pelo conceito de dimensão ou posto.

[]s, N.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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