Re: [Re]:Re: [obm-l] Forma canonica...

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

> Artur, agora entendi o que vc quis dizer com o
> conjunto R^2. Na verdade,
> esse nao eh um conjunto onde todos os elementos do
> dominio estariam elevados
> ao quadrado como eu havia pensado, mas sim um
> conjunto formado pelos pares x
> e z, onde x e z representam as variaveis da funcao.
Exatamente.

> Mas, nesse caso, como
> ficaria o grafico da funcao? seria uma parabola em
> um plano tridimensional?
Nos impusemos a restricao de que x+z =8. O conjunto
dos pares (x,z) que satisfazem a esta restricao estao
sobre uma reta no plano XZ. O plano eh um subconjunto
bidimensional do espaco tridimensional.Assim o grafico
da funcao y = f(x) eh de fato uma parabola. Isto eh
seccionando-se o plano XZ por um plano vertical que o
intercepte na reta x+z =8, temos que, neste plano, a
imagem da funcao eh uma parabola com a concavidade
voltada para baixo, isto eh, a funcao tem um maximo.

> Kramba, pode me dar uma maozinha nesse problema.
> Acho que sua resolucao eh
> simples, mas por causa da nuvem negra que esta
> saindo de minha cabeca nao
> estou conseguindo enxerga-la... :)
Sejam x e y os lados de cada um dos retangulos. Entao
seu perimetro P eh P =2(x+y). Por hipotese, todos
estes retangulos tem uma mesma area S = x*y -
supondo-se S>0. Entao, temos que y = S/x, para x>0.
Logo, P = 2(x +1/x). Temos agora que achar qual o
valor de x, em funcao de S, que minimiza o valor de P.
A forma natural de fazer isto eh derivar P com relacao
a x, mas voce ainda nao estudou Calculo, certo? Uma
outra forma de resolver eh a seguinte:
Temos que P = 2(x +S/x), para x>0. Dado que minimizar
o perimetro P eh a mesma coisa que minimizar o
semiperimetro p =P/2, vamos, para facilitar, abordar
este ultimo caso. Entao p = x +S/x, e x^2 - p*x + S
=0. A ideia agora eh achar o menor valor que p deve
assumir para que esta equacao do segundo grau tenha
raizes reais. Para que isto ocorra o discriminante D
deve ser >=0, o que nos conduz a D = p^2 - 4S >=0 e p
>= 2sqrt(S). Logo o menor valor de p que acarreta D>=0
eh p_min = 2sqrt(S). Para p = p_min, temos entao que a
unica solucao da equacao do 2o grau eh x = p_min/2 =
sqrt(S). Segue-se portanto que y = S/x = S/sqrt(S) =
sqrt(S), do que deduzimos que x =y. Concluimos assim
que, dentre todos os retangulos de mesma area, o que
apresenta menor perimetro eh o quadrado. 
E serah que existe algum que apresenta perimetro
maximo? Temos que P = 2(x + S/x). Eh facil ver, mesmo
sem recorrer ao Calculo, que fazendo-se x tener a
zero, entao S/x tende a infinito, torna-se tao grande
quanto se queira. E mantemos a area constante, pois x.
S/x = S. E como S/x vai para infinito, P tambem vai.
Nao existe portanto um reytangulo com maximo
perimetro, sempre podemos, mantendo a area constante,
aumentar indefinidamente o perimetro. Voce vai obtendo
um retangulo no qual um dos lados, digamos a altura,
fica muito pequena e a base tende a infinito. A soma
dos lados vai  par o infinito.
Artur   


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